Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1990 Soru 1

[geo]

Bir çemberin $AB$ ve $CD$ kirişleri, çemberin içerisindeki $E$ noktasında kesişiyor. $M$, $EB$ doğru parçası üzerinde bir nokta olsun. $D$, $E$, $M$ noktalarından geçen çembere $E$ de teğet olan doğru $BC$ ve $AC$ doğrularını sırasıyla $F$ ve $G$ de kesiyor. $$\dfrac{AM}{AB}=t$$ ise $$\dfrac{EG}{EF}$$ ifadesinin $t$ cinsinden değerini bulunuz.

[geo]

$\angle FEM = \angle EDM = \angle AEG = \alpha$.
$\angle MDB = \beta$ dersek, $\angle CAE= \alpha + \beta$ ve $\angle AGE = \beta$.
$\angle MBD = \angle GCE = \theta$ olsun.
$\angle CEF = \beta + \theta = \angle AMD$ ve $\angle MAD = \angle ECF$.
$A.A$ dan $\triangle CEG \sim \triangle BMD$ ve $\triangle FEC \sim \triangle DMA$. Benzerlikleri yazıp, $$ \dfrac{EG}{CE} = \dfrac{MD}{BM} \text{ ve } \dfrac{CE}{EF} = \dfrac{AM}{MD}$$ taraf tarafta çarparsak $$\dfrac{EG}{EF} = \dfrac{MA}{BM} = \dfrac{AM}{AB-AM} = \dfrac{1}{\dfrac{AB}{AM} - 1} = \dfrac {1}{\dfrac{1}{t}-1} = \dfrac {t}{t-1}.$$