3) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{30n}$ serisi yakınsayabilir de ıraksayabilir de. Yakınsadığı durum bulmak kolaydır. $a_n=\frac{1}{n^2}$ dizisi için $(a_n)$'nin herhangi bir altdizisinden elde edilen seri yakınsayacaktır.
Şimdi aksi örnek bulmaya çalışalım. Öncelikle $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{30n}$'nın ıraksamasını istediğimiz için $a_n$'yi $30\mid n$ durumunda $\frac{1}{n}$ olarak tanımlayalım. $30$ modunda $2,3,5$ sayılarından biriyle aralarında asal olmayan sayılar $$0,2,3,4,5,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28$$ sayılarıdır. $2k$, $3k$ ve $5k$ formatında olanları gruplarsak, $$0\pmod{2}:\quad 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28$$ $$0\pmod{3}:\quad 0,3,6,9,12,15,18,21,24,27$$ $$0\pmod{5}:\quad 0,5,10,15,20,25$$ olacaktır. Herhangi bir $k$ için $a_{30k}=\frac{1}{30k}$ olacağından diğer terimlerde bu terimi yok etmeliyiz. $m=2,4,\dots,28$ için $$a_{30k+m}=-\frac{1}{14\cdot 30k}$$ olarak, $m=3,9,15,21,27$ için benzer şekilde $a_{30k+m}$'yi $3$'ün katlarındaki sayıları sıfırlayacak şekilde ve $m=5,25$ için de $a_{30k+m}$'i sıfırlayacak şekilde seçebiliriz. Bu durumda $a_{2k}$'ların toplamı $15$ değerde bir, $a_{3k}$'ların toplamı $10$ değerde bir, $a_{5k}$'ların toplamı ise $6$ değerde bir sıfırlanacak ancak $a_{30k}$'ların toplamı harmonik serilerden dolayı ıraksayacaktır.
$(a_{2k})$, $(a_{3k})$, $(a_{5k})$ dizilerinin kısmi toplamlarının belli bir örüntüde $0$ yapmaları onların yakınsadığına kanıt değildir örneğin $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n$ yakınsamaz ama örneğin $$\sum_{n=1}^{k} a_{2n}$$ toplamı içerisindeki en büyük indeksli terim $a_{30t+m}$ ise bu toplam $a_{30t}=\frac{1}{30t}$'dan küçük olacaktır. Dolayısıyla kısmi toplamların limiti $0$'a gidecek ve toplamlar da $0$'a gidecektir. Yani bu örnekte $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{2n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{3n}$ ve $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{5n}$ serileri $0$'a yakınsar ama $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{30n}$$ serisi ıraksar.
Bulduğumuz örnekte $30$ ile aralarında asal olan $m$ değerleri için $a_{30k+m}$ terimlerini bulmadık, önemi de olmadığından bu terimler herhangi bir değer alabilir.