Gönderen Konu: Genelleştirilmiş IMO Shortlist 2009 #A.4 {çözüldü}  (Okunma sayısı 250 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Genelleştirilmiş IMO Shortlist 2009 #A.4 {çözüldü}
« : Kasım 29, 2023, 11:49:57 ös »
Genelleştirme 1
$a_1,a_2,\cdots,a_n$ pozitif reeller olmak üzere $\sum\limits_{cyc-j}{a_ja_{j+1}\cdots a_{j-2}}\leq n\prod{a_1}$ ise


$$\sum_{cyc-k}{\sqrt{\dfrac{a_k^2+a_{k+1}^2}{a+b}}}+n\leq \sqrt{2}\left(\sum_{cyc-i}{\sqrt{a_i+a_{i+1}}}\right)$$


olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ocak 23, 2024, 03:27:10 öö Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş IMO Shortlist 2009 #A.4
« Yanıtla #1 : Kasım 30, 2023, 08:05:46 öö »
Genelleştirme 2
$a_1,a_2,\cdots,a_n$ pozitif reeller olmak üzere $\sum\limits_{cyc-j}{a_ja_{j+1}\cdots a_{j-2}}\leq \theta\prod{a_1}$ ise


$$\sum_{cyc-k}{\sqrt{\dfrac{a_k^2+a_{k+1}^2}{a+b}}}+n\sqrt{\dfrac{n}{\theta}}\leq \sqrt{2}\left(\sum_{cyc-i}{\sqrt{a_i+a_{i+1}}}\right)$$


olduğunu gösteriniz.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş IMO Shortlist 2009 #A.4
« Yanıtla #2 : Ocak 23, 2024, 03:24:00 öö »
Problemde verilen eşitliğimizden yola çıkarak
$$\sum\limits_{cyc-j}{a_ja_{j+1}\cdots a_{j-2}}\leq \theta\prod{a_1}\Rightarrow \sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}\leq \theta$$
elde edilebilir
$$RHS=\sum_{cyc}{\sqrt{2}\sqrt{a_i+a_{i+1}}}=\sum_{cyc}{\sqrt{2}\sqrt{\dfrac{\left(a_i+a_{i+1}\right)^2}{a_i+a_{i+1}}}}=\sum_{cyc}{\sqrt{2}\sqrt{\dfrac{a_i^2+a_{i+1}^2}{a_i+a_{i+1}}+\dfrac{2a_ia_{i+1}}{a_i+a_{i+1}}}}$$
Şimdi Cauchy kullanalım
$$\left(\sqrt{\dfrac{a_i^2+a_{i+1}^2}{a_i+a_{i+1}}}+\sqrt{\dfrac{2a_ia_{i+1}}{a_1+a_2}}\right)^2\overbrace{\leq}^{Cauchy} \left(1+1\right)\left(\dfrac{a_i^2+a_{i+1}^2}{a_i+a_{i+1}}+\dfrac{2a_ia_{i+1}}{a_i+a_{i+1}}\right)=2\left(\dfrac{a_i^2+a_{i+1}^2}{a_i+a_{i+1}}+\dfrac{2a_ia_{i+1}}{a_i+a_{i+1}}\right)$$
Cauchy'den elde ettiğimiz eşitsizliği kaldığımız yerden uygularsak
$$RHS=\sum_{cyc}{\sqrt{2}\sqrt{\dfrac{a_i^2+a_{i+1}^2}{a_i+a_{i+1}}+\dfrac{2a_ia_{i+1}}{a_i+a_{i+1}}}}\geq \sum_{cyc}{\left(\sqrt{\dfrac{a_i^2+a_{i+1}^2}{a_i+a_{i+1}}}+\sqrt{\dfrac{2a_ia_{i+1}}{a_1+a_2}}\right)}$$
$$=\sum_{cyc}{\left(\sqrt{\dfrac{a_i^2+a_{i+1}^2}{a_i+a_{i+1}}}+\sqrt{\dfrac{2}{\dfrac{1}{a_i}+\dfrac{1}{a_{i+1}}}}\right)}$$
olduğunu gözlemleyelim. Bu başta problemde verilenlerden elde ettiğimiz $\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_i}}$ vari şeylere benzediğinden şanslıyız. Toparlayacak olursak
$$RHS\geq \sum_{cyc}{\left(\sqrt{\dfrac{a_i^2+a_{i+1}^2}{a_i+a_{i+1}}}+\sqrt{\dfrac{2}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}}}\right)}\overbrace{\geq}^{?} \sum_{cyc-k}{\sqrt{\dfrac{a_k^2+a_{k+1}^2}{a+b}}}+n\sqrt{\dfrac{n}{\theta}}$$
Sondaki eşitsizliği yani iki taraftan da ortak toplamlar silindiğinde
$$\sum_{cyc}{\sqrt{\dfrac{2}{\dfrac{1}{a_i}+\dfrac{1}{a_{i+1}}}}}\geq n\sqrt{\dfrac{n}{\theta}}$$
olmalı. Gösterelim. Burada ilkin Titu ve sonrasında Jensen Eşitsizliği'ni uygulamalıyız
$$\sum_{cyc}{\sqrt{\dfrac{2}{\dfrac{1}{a_i}+\dfrac{1}{a_{i+1}}}}}\overbrace{\geq}^{Titu} \dfrac{n^2\sqrt{2}}{\sum\limits_{cyc}{\sqrt{\dfrac{1}{a_i}+\dfrac{1}{a_{i+1}}}}}\overbrace{\geq}^{Jensen} \dfrac{n^2\sqrt{2}}{\sqrt{n\left(2\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}\right)}}\geq n\sqrt{\dfrac{n}{\theta}}$$
Sondaki ifade ise ispatın başında problemin verdiği koşuldannelde ettiğimiz $ \sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}\leq \theta$ ile elde edilmiştir. İspat biter.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal