Gönderen Konu: Genelleştirilmiş IMO Shortlist 2009 #A.2 {çözüldü}  (Okunma sayısı 241 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Genelleştirilmiş IMO Shortlist 2009 #A.2 {çözüldü}
« : Kasım 29, 2023, 09:35:39 ös »
Genelleştirme 1
$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere $\dfrac{1}{a}+\dfrac1b+\dfrac1c = \lambda \left(a+b+c\right)$ ise


$$\dfrac{1}{\left(\left(\lambda +\beta\right)a+\lambda b+\beta c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\left(\lambda +\beta\right)b+\lambda c+\beta a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\left(\lambda +\beta\right)c+\lambda a+\beta b\right)^2} \leq \dfrac{3}{16\beta}$$


olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ocak 23, 2024, 03:26:37 öö Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş IMO Shortlist 2009 #A.2
« Yanıtla #1 : Kasım 29, 2023, 09:38:39 ös »
Genelleştirme 2
$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=\theta \left(a+b+c\right)$ ise


$$\dfrac{1}{\left(\left(\lambda +\beta\right)a+\lambda b+\beta c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\left(\lambda +\beta\right)b+\lambda c+\beta a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\left(\lambda +\beta\right)c+\lambda a+\beta b\right)^2} \leq \dfrac{3\theta}{16\lambda \beta}$$


olduğunu gösteriniz.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 489
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş IMO Shortlist 2009 #A.2
« Yanıtla #2 : Ocak 23, 2024, 02:01:39 öö »
Genelleştirme 2'nin ispatını vermeden önce ispatta kullanacağımız temel iki eşitsizliği verelim Bu iki eşitsizlik $\left(ab+bc+ca\right)^2\geq 3abc\left(a+b+c\right)$ ve $9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\geq 8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)$. İlk eşitsizlikte $x=ab,y=bc,z=ca$ verilirse bilinen hali olan $\left(x+y+z\right)^2\geq 3\left(ab+bc+ca\right)$ 'a dönüşür ve doğrudur. İkinci eşitlsizikte parantezler açıldığında en son $a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b\geq 6abc$ şeklinde Aritmerik-Geometrik Ortalama'dan açık bir ifade elde edilir ve bu eşitsizlik de çalışır. Probleme dönecek olursak
$$\sum_{cyc}{\dfrac{1}{\left(\left(\lambda +\beta\right)a+\lambda b+\beta c\right)^2}}=\sum_{cyc}{\dfrac{1}{\left(\lambda \left(a+b\right)+\beta\left(a+c\right)\right)^2}}\overbrace{\leq}^{AGO} \sum_{cyc}{\dfrac{1}{4\lambda \beta \left(a+b\right)\left(a+c\right)}}$$
$$=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4\lambda \beta  \left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}$$
elde ederiz. Şimdi başta belirttiğimiz eşitsizliği uygularsak
$$9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\geq 8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow \dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4\lambda \beta  \left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\leq \dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4\lambda \beta  .\dfrac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{9}{16\lambda \beta\left(ab+bc+ca\right)}$$
elde ederiz. Buradan sonra $ab+bc+ca$ ile ilgili bir eşitsizlik bulup ispatı noktalamamız gerekiyor. Problemde bize $ab+bc+ca=\theta abc\left(a+b+c\right)$ olduğu verilmiş. Ayrıca yukarıda bahsettiğimiz eşitsizliği de uygularsak
$$\left(ab+bc+ca\right)^2=\left(ab+bc+ca\right)\theta abc\left(a+b+c\right)\geq 3abc\left(a+b+c\right)$$
Son eşitsizlikte $ab+bc+ca\geq \dfrac{3}{\theta}$ elde edilir. Bundan ötürü
$$LHS\leq \dfrac{9}{16\lambda \beta\left(ab+bc+ca\right)}\leq \dfrac{3\theta}{16\lambda \beta}$$
elde edilir ve ispat biter.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal