Gönderen Konu: IMO Shortlist 2020 #A.3 {çözüldü}  (Okunma sayısı 472 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 703
  • Karma: +2/-0
IMO Shortlist 2020 #A.3 {çözüldü}
« : Kasım 18, 2023, 02:40:21 ös »
$a,b,c,d$ pozitif reeller olmak üzere $\left(a+c\right)\left(b+d\right)=ac+bd$ eşitliği sağlanıyorsa aşağıdaki ifadenin


$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}$$


minimum değerini bulunuz.
« Son Düzenleme: Kasım 23, 2023, 09:21:38 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 703
  • Karma: +2/-0
Ynt: IMO Shortlist 2020 #A.3
« Yanıtla #1 : Kasım 23, 2023, 09:21:16 ös »
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{d}{a}\right)\overbrace{\geq}^{AGO} \dfrac{2\sqrt{ac}}{\sqrt{bd}}+\dfrac{2\sqrt{bd}}{\sqrt{ac}}$$
$$=\dfrac{2ac+2bd}{\sqrt{abcd}}=\dfrac{2\left(ac+bd\right)}{\sqrt{abcd}}=\dfrac{2\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{\sqrt{abcd}}\overbrace{\geq}^{AGO} \dfrac{8\sqrt{abcd}}{\sqrt{abcd}}=8$$

İkinci satırın ortasında soruda verilen eşitliği kullandık. Bu çözüm AoPS forumunds mevcuttur, biraz detaylandırdım.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 703
  • Karma: +2/-0
Ynt: IMO Shortlist 2020 #A.3 {çözüldü}
« Yanıtla #2 : Kasım 26, 2023, 05:23:48 ös »
İkinci çözüm fikri olarak eşitsizliğin ve soruda verilen ifadenin ikisi de homojenite özelliktedir. Buradan $abcd=1$ gibi bir varsayım yapabiliriz ve bu genelliği bozmaz.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal