IMO Shortlist 2020 #A.3 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

• Tweet

$a,b,c,d$ pozitif reeller olmak üzere $\left(a+c\right)\left(b+d\right)=ac+bd$ eşitliği sağlanıyorsa aşağıdaki ifadenin


$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}$$


minimum değerini bulunuz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

• Tweet

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{d}{a}\right)\overbrace{\geq}^{AGO} \dfrac{2\sqrt{ac}}{\sqrt{bd}}+\dfrac{2\sqrt{bd}}{\sqrt{ac}}$$
$$=\dfrac{2ac+2bd}{\sqrt{abcd}}=\dfrac{2\left(ac+bd\right)}{\sqrt{abcd}}=\dfrac{2\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{\sqrt{abcd}}\overbrace{\geq}^{AGO} \dfrac{8\sqrt{abcd}}{\sqrt{abcd}}=8$$

İkinci satırın ortasında soruda verilen eşitliği kullandık. Bu çözüm AoPS forumunds mevcuttur, biraz detaylandırdım.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

• Tweet

İkinci çözüm fikri olarak eşitsizliğin ve soruda verilen ifadenin ikisi de homojenite özelliktedir. Buradan $abcd=1$ gibi bir varsayım yapabiliriz ve bu genelliği bozmaz.