Gönderen Konu: Genelleştirilmiş ELMO Shortlist 2019 #A.1 {çözüldü}  (Okunma sayısı 294 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 703
  • Karma: +2/-0
Genelleştirilmiş ELMO Shortlist 2019 #A.1 {çözüldü}
« : Kasım 17, 2023, 01:31:19 ös »
Genelleştirme 1
$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ pozitif reel sayılar olmak üzere $\sum\limits_{cyc}{\dfrac{1}{a_{1}}}=1$ ise


$$\prod{a_{1}}\left(\sum_{cyc}{a_{1}^{a_{1}-1}}\right)\geq n^n.\sum_{j=1}^{n}{\left(\dfrac{\prod{a_{1}}}{a_{j}}\right)}$$


olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ocak 31, 2024, 03:01:45 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 703
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş ELMO Shortlist 2019 #A.1 {çözüldü}
« Yanıtla #1 : Ocak 31, 2024, 03:00:09 ös »
Problemde verilen eşitliği kullanırsak
$$\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}=1\Rightarrow \prod{a_1}=\sum_{j=1}^{n}{\dfrac{\prod{a_1}}{a_j}}$$
$$LHS=a_1^{a_1}a_2a_3\cdots a_n+a_1a_2^{a_2}a_3\cdots a_n+\cdots a_1a_2\cdots a_{n-1}a_n^{a_n}=\prod{a_{1}}\left(\sum_{cyc}{a_{1}^{a_{1}-1}}\right)\geq n^n.\sum_{j=1}^{n}{\left(\dfrac{\prod{a_{1}}}{a_{j}}\right)}$$
Yukarıda problemdeki bilgiden çıkarttığımız eşitliği yani $\prod{a_1}=\sum\limits_{j=1}^{n}{\dfrac{\prod{a_1}}{a_j}}$ olduğuna dikkat edersek
$$\sum_{cyc}{a_{1}^{a_{1}-1}}\geq n^n$$
olduğunu göstermek problemin ispatında yeterli olacaktır. Gösterelim. $\sum\limits_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}=1$ bilgisiyle Ağırlaştırılmış Aritmetik-Geometrik Ortalama kullanırsak
$$\sum_{cyc}{a_1^{a_1-1}}=\dfrac{a_1^{a_1}}{a_1}+\dfrac{a_2^{a_2}}{a_2}+\cdots+\dfrac{a_n^{a_n}}{a_n}\overbrace{\geq}^{A. AGO} \left[\left(a_1^{a_1}\right)^{\dfrac{1}{a_1}}\left(a_2^{a_2}\right)^{\dfrac{1}{a_2}}\cdots \left(a_n^{a_n}\right)^{\dfrac{1}{a_n}}\right]^{\sum\limits_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}}=a_1a_2\cdots a_n\geq n^n$$
Sondaki eşitsizliğin doğru olduğunu gösterelim.
$$\sum\limits_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}=1\Rightarrow 1=\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\overbrace{\geq}^{AGO} n\sqrt[n]{\dfrac{1}{a_1a_2\cdots a_n}}$$
Buradan sonra kök açılırsa $a_1a_2\cdots a_n\geq n^n$ elde edilir ve ispatı tamamlarız.

« Son Düzenleme: Ocak 31, 2024, 03:57:43 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal