Gönderen Konu: 2012 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 4  (Okunma sayısı 1807 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.562
  • Karma: +4/-0
Bir $ABC$ üçgeninde $\angle{ACB}=90^{\circ}$ olsun. $C$ den inilen yükseklik ayağı $F$ olsun. $\omega$ çemberi $[FB]$ doğru parçasına $P$ de, $CF$ yüksekliğine $Q$ da ve $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $R$ de teğet oluyor ise $A,Q$ ve $R$ noktalarının doğrusal ve $|AP|=|AC|$ olduğunu gösteriniz.

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.562
  • Karma: +4/-0
Ynt: 2012 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 4
« Yanıtla #1 : Ağustos 23, 2023, 02:50:39 öö »
$[AB]$ nin orta noktası $M$ ve $\omega$ çemberinin merkezi $N$ olsun. $M$ noktası $ABC$ nin çevrel çemberinin merkezidir. Teğet çemberlerin merkezlerini birleştiren doğru teğet değme noktasından da geçer dolayısıyla $M,N,R$ noktaları doğrusaldır. $QN \perp CF$ ve $MA \perp CF$ olduğundan $QN \parallel MA \implies \angle{AMR} = \angle{QNR}$ elde edilir. Ayrıca $AMR$ ve $QNR$ üçgenleri ikizkenar üçgenler olduğundan $\angle{MRA} = \angle{NRQ}$ olur ki bu da bize $A,Q,R$ noktalarının doğrusal olduğunu gösterir.

$\angle{QFB}=\angle{QRB}=90^{\circ}$ olduğundan $F,Q,R,B$ çemberseldir. $A$ noktasının bu çembere göre kuvvetinden
$$|AQ| \cdot |AR| = |AF| \cdot |AB|$$
$A$ noktasının $\omega$ çemberine göre kuvvetinden
$$|AQ| \cdot |AR| = |AP|^2$$
elde edilir. Öte yandan $ABC$ üçgeninde öklitten
$$|AC|^2=|AF| \cdot |AB|$$
yazılıp bu üç eşitlik birleştirilirse

$|AC|^2=|AF| \cdot |AB| = |AQ| \cdot |AR| = |AP|^2 \implies |AC|=|AP|$ bulunur.


 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal