2012 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 1

[matematikolimpiyati]

$p^5-2q^2=(4p-q)^2$ denklemini asal sayılar kümesinde çözünüz.

[matematikolimpiyati]

$p=q$ alırsak $p^5-2p^2=(4p-p)^2=(3p)^2=9p^2 \implies p^5=11p^2 \implies p^3=11$ elde ederiz ve buradan çözüm gelmez. Dolayısıyla $p \neq q$ kabul edebiliriz.

$p^5-2q^2 = (4p-q)^2 = 16p^2-8pq+q^2 \implies p^5-16p^2+8pq=3q^2 \implies p(p^4-16p+8q)=3q^2 \implies p \mid 3q^2$

$p$ asal sayı ve $p \neq q$ olduğundan $p=3$ olmalıdır. Denklemde yerine yazarsak $q=11$ bulunur. Dolayısıyla tek çözüm $(3,11)$ ikilisidir.