Gönderen Konu: Serilerin yakınsaması/ıraksaması  (Okunma sayısı 1146 defa)

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1136
  • Karma: +9/-0
Serilerin yakınsaması/ıraksaması
« : Ağustos 11, 2023, 02:38:21 ös »
Soru 1: $a_n\in\mathbb{R}$ olmak üzere $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|$ ıraksıyor ancak $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ toplamı bir reel sayıya yakınsıyor. Buna göre $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ dizisinin pozitif terimlerinin toplamının da ıraksadığını gösteriniz.

Soru 2: $a_n\in\mathbb{R}^+$ olmak üzere $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ dizisi yakınsıyor. Buna göre öyle bir $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ olduğunu gösteriniz ki $b_n>0$ ve $b_n\to \infty$ ve $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ yakınsasın.

Soru 3 (Metin Aydemir): $a_n\in \mathbb{R}$ olmak üzere $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{2n}$ ve $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{3n}$ ve $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{5n}$ serileri yakınsıyorsa $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{30n}$ dizisinin yakınsayıp yakınsamadığını bulunuz.
« Son Düzenleme: Ağustos 12, 2023, 05:52:26 ös Gönderen: Metin Can Aydemir »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1136
  • Karma: +9/-0
Ynt: Serilerin yakınsaması/ıraksaması
« Yanıtla #1 : Ağustos 11, 2023, 02:48:00 ös »
1) Aksini varsayalım ve pozitif terimlerin toplamının yakınsadığını varsayalım. Öncelikle en az bir terimin pozitif olması gerektiğini görelim. Çünkü aksi takdirde $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|=-\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$$ olacağından mutlak değerli seri ıraksayamaz. Eğer $a_n^+=\max\{a_n,0\}$ dersek, $a_n^+$'ların toplamı, pozitif terimlerin toplamı olacaktır. Ayrıca $$a_n^+=\frac{a_n+|a_n|}{2}$$ olduğunu kolaylıkla görebiliriz. Dolayısıyla $$0<\sum_{n=1}^{\infty}a_n^+<\infty\implies 0<\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n+|a_n|)<\infty\implies 0<\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n+|a_n|)=0<\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n+\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|<\infty$$ olacaktır. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ bir reel sayı olduğundan $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|$ de yakınsamalıdır fakat bu bir çelişkidir. Yani pozitif terimlerin toplamı ıraksayacaktır. Benzer şekilde negatif terimlerin toplamı da ıraksayacaktır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1136
  • Karma: +9/-0
Ynt: Serilerin yakınsaması/ıraksaması
« Yanıtla #2 : Ağustos 12, 2023, 05:51:19 ös »
2) $S_n=\sum\limits_{k=n}^{\infty} a_k$ dizisini tanımlayalım. Bariz bir şekilde $S_n-S_{n+1}=a_n$ ve $S_{n+1}<S_n$ olacaktır. $$S_1=\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty} (S_n-S_{n+1})=S_1-\lim_{n\to \infty} S_n\implies \lim_{n\to \infty} S_n=0$$ olacaktır. Dolayısıyla, $b_n=\frac{1}{\sqrt{S_n}}>0$ dizisini tanımlarsak, $\sqrt{S_n}\to 0$ olduğundan $b_n\to \infty$ olacaktır. Ayrıca, $$0<\sum_{n=1}^{\infty} b_na_n=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{S_{n}-S_{n+1}}{\sqrt{S_n}}\leq \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n+1}})(\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n+1}})}{\sqrt{S_{n}}}$$ $$\leq\sum_{n=1}^{\infty} 2\left (\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n+1}}\right) =2\sqrt{S_1}-2\lim_{n\to \infty} \sqrt{S_{n}}=2\sqrt{S_1}$$ Bu durumda $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_na_n$ de yakınsar.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1136
  • Karma: +9/-0
Ynt: Serilerin yakınsaması/ıraksaması
« Yanıtla #3 : Aralık 02, 2023, 11:28:18 ös »
3) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{30n}$ serisi yakınsayabilir de ıraksayabilir de. Yakınsadığı durum bulmak kolaydır. $a_n=\frac{1}{n^2}$ dizisi için $(a_n)$'nin herhangi bir altdizisinden elde edilen seri yakınsayacaktır.

Şimdi aksi örnek bulmaya çalışalım. Öncelikle  $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{30n}$'nın ıraksamasını istediğimiz için $a_n$'yi $30\mid n$ durumunda $\frac{1}{n}$ olarak tanımlayalım. $30$ modunda $2,3,5$ sayılarından biriyle aralarında asal olmayan sayılar $$0,2,3,4,5,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28$$ sayılarıdır. $2k$, $3k$ ve $5k$ formatında olanları gruplarsak, $$0\pmod{2}:\quad 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28$$ $$0\pmod{3}:\quad 0,3,6,9,12,15,18,21,24,27$$ $$0\pmod{5}:\quad 0,5,10,15,20,25$$ olacaktır. Herhangi bir $k$ için $a_{30k}=\frac{1}{30k}$ olacağından diğer terimlerde bu terimi yok etmeliyiz. $m=2,4,\dots,28$ için $$a_{30k+m}=-\frac{1}{14\cdot 30k}$$ olarak, $m=3,9,15,21,27$ için benzer şekilde $a_{30k+m}$'yi $3$'ün katlarındaki sayıları sıfırlayacak şekilde ve $m=5,25$ için de $a_{30k+m}$'i sıfırlayacak şekilde seçebiliriz. Bu durumda $a_{2k}$'ların toplamı $15$ değerde bir, $a_{3k}$'ların toplamı $10$ değerde bir, $a_{5k}$'ların toplamı ise $6$ değerde bir sıfırlanacak ancak $a_{30k}$'ların toplamı harmonik serilerden dolayı ıraksayacaktır.

$(a_{2k})$, $(a_{3k})$, $(a_{5k})$ dizilerinin kısmi toplamlarının belli bir örüntüde $0$ yapmaları onların yakınsadığına kanıt değildir örneğin $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n$ yakınsamaz ama örneğin $$\sum_{n=1}^{k} a_{2n}$$ toplamı içerisindeki en büyük indeksli terim $a_{30t+m}$ ise bu toplam $a_{30t}=\frac{1}{30t}$'dan küçük olacaktır. Dolayısıyla kısmi toplamların limiti $0$'a gidecek ve toplamlar da $0$'a gidecektir. Yani bu örnekte $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{2n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{3n}$ ve $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{5n}$ serileri $0$'a yakınsar ama $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{30n}$$ serisi ıraksar.

Bulduğumuz örnekte $30$ ile aralarında asal olan $m$ değerleri için $a_{30k+m}$ terimlerini bulmadık, önemi de olmadığından bu terimler herhangi bir değer alabilir.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal