Gönderen Konu: 2000 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 5  (Okunma sayısı 1793 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.562
  • Karma: +4/-0
Kenar uzunluğu $1$ olan $n^3$ adet küpün istiflenmesiyle oluşturulan bir küpün $6$ yüzünden bazıları boyanıyor. En az bir yüzü boyanmış olan küçük küplerin sayısı $168$ olduğuna göre $n$ yi bulunuz.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: 2000 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 5
« Yanıtla #1 : Ağustos 03, 2023, 08:01:05 ös »
Çözüm: $1$ yüzey boyanırsa $n^2 = 168$ olmalı. Bu durumda tam sayı çözüm yoktur.

$2$ yüzey boyanırsa, yüzeylerin ortak ayrıtı yoksa $2n^2 = 168$ dir. Bu denklemin tam sayı çözümü yoktur. Yüzeylerin ortak ayrıtı varsa $2n^2 - n = 168$ dir. $n(2n-1) = 168 = 8\cdot 3 \cdot 7$  yazılırsa uygun bir $n$ pozitif tam sayısı yoktur.

$3$ yüzey boyanırsa, yüzeylerin iki veya üç ortak ayrıtı olabilir. $3n^2 - 2n = 168$ için $n(3n-2) =  8\cdot 3 \cdot 7$  yazılırsa uygun bir $n$ pozitif tam sayısı yoktur. $3n^2 - 3n = 168$ için $3n(n-1) =  8\cdot 3 \cdot 7$ denkleminden $n=8$ bulunur.

Ayrıca $4$ yüzey boyanırsa ve boyalı olmayan yüzeyler birbirine paralel olursa $4n^2 - 4n = 168 = 8\cdot 3 \cdot 7$ olup $n(n-1)=7\cdot 6$ denklemi elde edilir. Buradan $n=7$ pozitif tam sayı çözümü bulunur.

$5$ veya $6$ yüzeyin boyandığı durumlarda çözüm gelmediği gözlemlenebilir. Sonuç olarak $n$ nin alabileceği iki değer vardır. $n\in \{ 7, 8\}$.
« Son Düzenleme: Ağustos 04, 2023, 01:30:53 ös Gönderen: Lokman Gökçe »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal