2002 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 5

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$ kenarı üzerinde alınmış bir $D$ noktası için
$$\dfrac{|AD|}{|DC|}=\dfrac{|AB|}{|BC|}$$
eşitliği sağlanıyorsa, $\widehat{ACB}$ açısının geniş açı olduğunu gösteriniz.

[Ege Sarıbaş]

Soruda verilen oran, tıpkı ekte belirttiğim resimdeki oklardaki gibi bir orandır. Ve bu oran bildiğimiz üzere ancak ve ancak dış açıortay olma durumunda geçerlidir. Yani buradan CA nın BCD üçgenine ait bir dış açıortay olduğunu anlarız. Buradan m(ECA) = m(ACD) = a diyebiliriz.
 O zaman m(BCD) = 180 - 2a olur. m(BCA) = m(BCD) + m(DCA) yani
m(BCA) = 180 - a olur. Bir de 2a < 180 olduğundan a < 90 olur. O zaman:
180 - a > 90
m(BCA) > 90 olur.