Gönderen Konu: Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?  (Okunma sayısı 1917 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1385
  • Karma: +3/-0
Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?
« : Şubat 13, 2023, 07:29:53 ös »
Teorem [The College Mathematics Journal, 2004]: Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin Euler Doğrusu'nun $BC$ kenarına paralel olması için gerek ve yeter koşul
$$\tan B \cdot \tan C =3$$
olmasıdır.

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 885
  • Karma: +14/-0
Ynt: Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?
« Yanıtla #1 : Şubat 13, 2023, 10:04:46 ös »
Bu soru formda olmalı diye hatırlıyorum fakat göremedim.

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1385
  • Karma: +3/-0
Ynt: Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?
« Yanıtla #2 : Şubat 13, 2023, 10:11:13 ös »
Ben de biraz aradım ama bulamadım

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?
« Yanıtla #3 : Şubat 13, 2023, 11:00:34 ös »
Bu soruyu forumda çözmüştüm diye hatırlıyorum. Ben de bulamadım :) Trigonometri kullanmadığım aşağıdaki çözümüm biraz daha kısa ve zarif olabilir.


Çözüm: $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$, ağırlık merkezi (centroid) $G$ olsun. $|AF|=3|GF|$ özelliği vardır. Ayrıca diklik merkezi özelliği olarak $|AD|\cdot |HD| = |BD|\cdot |CD|$ eşitliği geçerlidir. İspatı için Diklik merkezi-Problem 8 bağlantısına bakılabilir. Buna göre, $\tan B \cdot \tan C = \dfrac{|AD|}{|BD|}\cdot \dfrac{|AD|}{|CD|} = \dfrac{|AD|}{|HD|} $ olur. Ayrıca $GH$, $ABC$ üçgeninin Euler doğrusudur.


Dolayısıyla

$$ GH \parallel BC \iff \dfrac{|AF|}{|GF|} = \dfrac{|AD|}{|HD|} \iff |AD| = 3|HD| \iff \tan B \cdot \tan C = 3 $$

elde edilir.



Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1385
  • Karma: +3/-0
Ynt: Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?
« Yanıtla #4 : Şubat 14, 2023, 03:45:42 öö »


$\tan B \cdot \tan C$ ifadesini şöyle de bulabiliriz :

$H$ noktası diklik merkezi olduğu için $m(\widehat{B})=m(\widehat{DHC}) \implies \tan B \cdot \tan C = \dfrac{|CD|}{|HD|} \cdot \dfrac{|AD|}{|DC|}=\dfrac{|AD|}{|HD|}$

Benzer Soru

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 885
  • Karma: +14/-0
Ynt: Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?
« Yanıtla #5 : Şubat 15, 2023, 04:51:18 ös »
Metin Can Aydemir'in bu sorunun çözümünde kullandığı koordinat sistemini gözönüne alalım. Euler doğrusunun $BC$ kenarına paralel olması için gerek ve yeter şart  diklik merkezi $H$ noktasının  ve  çevrel çemberin merkezi  $O$ noktasının $BC$ kenarına olan uzaklıklarının eşit olmasıdır; yani $H\left(0,\frac{bc}{a}\right)$ ve $O\left(\frac{c-b}{2},\frac{a^2-bc}{2a}\right)$ noktalarının ordinatları eşit olmalıdır. Buna göre $$\dfrac{bc}{a}=\dfrac{a^2-bc}{2a}$$ eşitliğinden $$a^2=3bc$$ bulunur.
Bahsi geçen koordinat sisteminde $\tan B=\dfrac{a}{b}$  ve $\tan C=\dfrac{a}{c}$ olarak ifade edilebileceğinden  $$\tan B\cdot \tan C=\dfrac{a^2}{bc}=3$$ elde edilir.

Bunu kullanarak Euler doğrusu bir kenarına paralel olan üçgenleri de inşaa edebiliriz: Bunun için $BC$ kenarı üzerinde $|BD|=b$, $|CD|=c$ , $b\ne c$  olacak şekilde bir $D$ noktası alırız ve yükseklik ayağı $D$ olan $\sqrt{3bc}$ uzunluğundaki yüksekliği çizerek $A$ noktasını tespit ederiz. $b=c$ durumunda üçgen eşkenar üçgene dönüşür ve Euler doğrusu oluşmaz.
« Son Düzenleme: Şubat 15, 2023, 06:20:05 ös Gönderen: alpercay »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal