Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 19

[matematikolimpiyati]

$a,\ b,\ c$ adındaki üç adam$,$ adları (aynı sırayla olması gerekmeksizin) $x,\ y,\ z$ olan eşleri ile kitap almaya çıkarlar. Kitapların fiyatları tam sayılar olup bir kişinin aldığı tüm kitapların fiyatı aynıdır. Bu altı kişiden her biri bu alışverişte bir kitaba ödediği para kadar kitap alır. Adamlardan her biri kendi eşinden $63$ lira$;\ a,\ y$ den $23$ lira$;\ b$ de $x$ ten $11$ lira daha fazla harcar. $d$ nin $w$ ile evli olma durumunu $(d,w)$ ile gösterirsek$,$ aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ (a,z)\ ,(b,x)\ ,(c,y)  \qquad\textbf{b)}\ (a,y)\ ,(b,z)\ ,(c,x)  \qquad\textbf{c)}\ (a,x)\ ,(b,y)\ ,(c,z)$ 
$\textbf{d)}\ (a,z)\ ,(b,y)\ ,(c,x)  \qquad\textbf{e)}\ (a,y)\ ,(b,x)\ ,(c,z)$ 

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$m$ kişisinin aldığı kitapların bir tanesinin fiyatı $n_m$ olsun. Aynı zamanda $n_m$ adet kitap aldığından, bu kişi $n_m^2$ lira ödemiştir. $a$, $y$'den $63$ lira değil, $23$ lira fazla harcadığından bu kişiler evli değildir. Benzer şekilde $b$ ve $x$ de evli değildir. $$n_a^2-n_y^2=23\implies (n_a+n_y)(n_a-n_y)=23\implies n_a+n_y=23~~\text{ve}~~ n_a-n_y=1\implies (n_a,n_y)=(12,11)$$ $$n_b^2-n_x^2=11\implies (n_b+n_x)(n_b-n_x)=11\implies n_b+n_x=11~~\text{ve}~~ n_b-n_x=1\implies (n_b,n_x)=(6,5)$$ $n_a$'nın eşi $t$ kitap aldıysa $$n_a^2-t^2=63\implies 144-t^2=63\implies t^2=81\implies t=9$$ olur. $x$ ve $y$'nin ikisi de $9$ kitap almadığından $a$'nın eşi $z$ olmalıdır ve $9$ kitap almıştır. $b$'nin eşi $x$ veya $z$ olmadığından $y$ olmalıdır. $c$'nin eşi ise $x$ olur. Cevap $\boxed{(a,z),(b,y),(c,x)}$ olmalıdır.

Not: Başta $a$ ve $b$'nin eşlerinin kim olamayacağını söylemiştik. Bu bilgilerle şıkları elersek sadece $C$ ve $D$ şıkları kalır. Yani $b$'nin eşi $y$ olduğunu görebiliriz. Eğer $a$'nın eşi $x$ olsaydı yukarıdaki notasyonlarla $$(n_a^2-n_x^2)+(n_b^2-n_y^2)=63+63=126$$ $$(n_a^2-n_y^2)+(n_b^2-n_x^2)=23+11=34$$ çelişkisi çıkardı. Böylece $C$'yi eleyip, doğru cevabı $D$ bulabilirdik.

[geo]

Soru hatalıdır.

Bir önceki çözümde $(b,y)$ bulduk.
$n_b=6$ ve $n_y=11$ bulundu; ama $n_b^2-n_y^2=-85 \neq 63$ eşitliği sağlanmaz.

Soru; "Adamlardan her biri kendi eşinden $63$ fazla; $a$, $y$ den $943$ fazla; $b$, $x$ ten $143$ fazla" şeklinde sorulsaydı cevap $(D)$ olarak bulunabilirdi.

Yeni haliyle iki şekilde sonuca gidebiliriz:

$[d,w]$ ile $d$ nin $w$ ile evli olmama durumunu gösterelim
Bu durumda,  $n_a^2 - n_y^2 = 943$ ve $n_b^2 - n_x^2 = 143$ olduğu için $[a,y]$ ve $[b,x]$. $(A)$, $(B)$, $(E)$ şıkları elenir.
$n_a^2 + n_b^2 - n_y^2 - n_x^2 = 1086 \neq 63 + 63$ olduğu için $(a,x)$ ise $[b, y]$. $(C)$ şıkkı elenir. Geriye sadece $(D)$ şıkkı kalır.

Tam çözüm yapmak gerekirse:
$(d,w)$ çifti için $n_d^2 - n_w^2 = 63$ olduğu için $(n_d-n_w)(n_d+n_w) = 63 = 1 \cdot 63 = 3 \cdot 21 = 7 \cdot 9$ olacaktır.
Buradan sadece $(n_d, n_w) \in \{(32, 31), (12, 9), (8,1)\}$ gelir.
$n_a > 943$ olduğu için $n_a = 32$, $n_y = 9$, $a$'nın eşinin $31$ kitap aldığı ve $y$ nin eşinin $12$ kitap aldığı sonucu çıkar.
$n_b^2 - n_x^2 = (n_b-n_x)(n_b + n_x) = 143 = 1\cdot 143 = 11 \cdot 13$ olduğu ve $n_b \leq 32$ olduğu için $n_b = 12$ ve $n_x = 1$ olur.
$n_x =1$ olduğu için $x$ in eşi $8$ kitap almış olmalı. Bu durumda $x$ in eşi $c$ dir. $n_c = 8$.
$n_b = 12$ ve $n_y=9$ olduğu için $(b,y)$ dir.
Bu durumda $n_a = 32$ ve $n_z = 31$ olacaktır.
Toparlarsak, $(a,z), (b,y), (c,x)$ tek çözümdür.

[geo]

Sorunun doğru olması için $63$ değeri sabit kalmak şartıyla hangi sayıların sağladığını bilgisayar yardımıyla bulmuştum.
Mustafa Töngemen, Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri kitabında aslında daha güzel bir nokta yakalamış.
Soru; "Adamlardan her biri kendi eşinden $63$ lira fazla harcar; $a$, $y$ den $23$ kitap; $b$ de $x$ ten $11$ kitap fazla alır." şeklinde sorulduğunda da doğru oluyor.

$(d,w)$ çifti için $n_d^2 - n_w^2 = 63$ olduğu için $(n_d-n_w)(n_d+n_w) = 63 = 1 \cdot 63 = 3 \cdot 21 = 7 \cdot 9$ olacaktır.
Buradan sadece $(n_d, n_w) \in \{(32, 31), (12, 9), (8,1)\}$ gelir.
$a$, $y$ den $23$ fazla kitap almışsa $n_a=32$, $n_y=9$ olmak zorunda.
$b$, $x$ ten $11$ fazla kitap almışsa $n_b=12$, $n_x=1$ olmak zorunda.
Bu durumda $(a,z)$, $(b,y)$, $(c,x)$ aradığımız yanıt olur.