Gönderen Konu: 2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20  (Okunma sayısı 1153 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1385
  • Karma: +3/-0
2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20
« : Haziran 13, 2022, 12:28:44 öö »
$ABC$ dik üçgeninde $C$ noktasından hipotenüse (yani $[AB]$ kenarına) indirilen yüksekliğin hipotenüsle kesişim noktası $H$ olmak üzere, $|AH|=5$ ve $|BH|=7$ birimdir. $[CH]$ yüksekliğini çap kabul eden çembere $A$ ve $B$ noktalarında çizilen ($[AB]$'den farklı) teğetlerin çembere değme noktaları sırasıyla $F$, $K$ ve bu teğetlerin kesişim noktası $G$ olsun. Bu durumda $|FG|$ uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 2\sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 4\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 3\sqrt2$

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1136
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2001 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20
« Yanıtla #1 : Aralık 01, 2023, 07:35:17 ös »
Cevap: $\boxed{D}$

Çizilen üçgen $ABG$ üçgeninin içteğet çemberidir ve yarıçapı da Öklid teoreminden $\frac{\sqrt{35}}{2}$'dir. Eğer $|FG|=x$ dersek, $ABG$'nin kenarları, $5+x$, $7+x$ ve $12$ olur. Alan formüllerinden $$ur=\sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}\implies \frac{(12+x)\sqrt{35}}{2}=\sqrt{(12+x)\cdot x\cdot 7\cdot 5}$$ $$\implies \sqrt{12+x}=2\sqrt{x}\implies 12+x=4x\implies x=4$$ bulunur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal