Gönderen Konu: Erdös Mordell Eşitsizliği  (Okunma sayısı 2130 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Erdös Mordell Eşitsizliği
« : Mart 02, 2022, 12:22:11 öö »
Problem [P. Erdös, 1935]: $ABC$ üçgeninin içinden alınan bir $O$ noktasından üçgenin kenarlarına (gerekirse uzantılarına) inen dikme ayakları $P, Q, R$ olsun.

$$ |OA| + |OB| + |OC| \geq 2(|OP| + |OQ| + |OR|) $$

eşitsizliğini kanıtlayınız.





Paul Erdös bu eşitsizliği AMM'de sorduğunda kendisi de kanıtını bilmiyordu. Problem çok ilgi görse de, ancak $2$ yıl sonra $1937$'de dönemin güçlü matematikçilerinden Louis Joel Mordell tarafından temel trigonometrik yöntemler (sinüs, kosinüs teoremleri vs) kullanılarak çözüldü.

Bu çözüm, trigonometrik ifadeleri kaldırıp yerine uzunluk, alan bağıntıları kullanmak için çok uygundur. Dikkatli incelenirse görülüyor ki; sonraki dönemlerde yapılan bir çok estetik çözüm, temel olarak Mordell'in çözümünün modifiye edilmiş biçimleridir. Mordell'in çözümünü ve bazı anekdotları anlattığım bir video hazırladım. Başka çözümleri de buraya ekleyebiliriz.
« Son Düzenleme: Mart 12, 2022, 04:11:02 ös Gönderen: Lokman Gökçe »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Erdös Mordell Eşitsizliği
« Yanıtla #1 : Mart 12, 2022, 04:46:13 ös »
Tüm çözümlerde kullanacağımız genel gösterimleri tanımlayalım: $|BC|=a, |CA|=b, |AB|=c$ ve $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, $\angle ACB = \gamma$ olsun. $ABC$ üçgeninin $[BC], [CA], [AB]$ kenarlarına (gerekirse uzantılarına) inen dikmelerinin uzunluklarını $|OP|=x, |OQ|=y, |OR|=z$ ile gösterelim. $|OA|=R_1, |OB|=R_2, |OC|=R_3$ olsun.


Çözüm 1 [L. J. Mordell, 1937]:


$AQOR$ bir kirişler dörtgeni olduğundan, $\angle QOR = \beta + \gamma$. $OQR$ üçgeninde kosinüs teoreminden, $$ QR = \left(y^2 + z^2 - 2yz\cos(\beta + \gamma)\right)^{\frac{1}{2}} .$$
 $ARQ$ üçgeninde sinüs teoreminden, $$ \dfrac{QR}{\sin \alpha} = R_1 .$$
Böylece,
\begin{align*}
R_1 & = \left(y^2 + z^2 - 2yz\cos(\beta + \gamma)\right)^{\frac{1}{2}} / \sin \alpha  \\
& = \left(y^2 + z^2 - 2yz(\cos\beta  \cos\gamma - \sin \beta \sin \gamma)\right)^{\frac{1}{2}} / \sin \alpha \\
& = \left(y^2(\cos^2 \gamma + \sin^2\gamma) + z^2(\cos^2 \beta + \sin^2\beta)\right)^{\frac{1}{2}} / \sin \alpha \\
& = \left( \left( y\cos\gamma - z \cos\beta \right)^2 + \left( y\sin\gamma + z \sin\beta \right)^2\right)^{\frac{1}{2}} / \sin \alpha \\
& \geq \left( y\sin\gamma + z \sin\beta \right) / \sin \alpha .
\end{align*}
Buradan $$R_1 \geq y\dfrac{\sin\gamma}{\sin\alpha} + z\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha} .$$
elde ederiz. Benzer şekilde,
\begin{align*}
R_2 & \geq z\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} + x\dfrac{\sin\gamma}{\sin\beta} \\
R_3 & \geq x\dfrac{\sin\beta}{\sin\gamma} + y\dfrac{\sin\alpha}{\sin\gamma} .
\end{align*}
yazabiliriz. Bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplarsak,
$$ R_1 + R_2 + R_3 \geq x\left( \dfrac{\sin\beta}{\sin\gamma} + \dfrac{\sin\gamma}{\sin\beta} \right)  + y\left( \dfrac{\sin\alpha}{\sin\gamma} + \dfrac{\sin\gamma}{\sin\alpha}  \right) + z\left( \dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha} + \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} \right) .$$

$a,b$ pozitif sayıları için aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2$ olur. Sonuç olarak
$$ R_1 + R_2 + R_3 \geq 2(x + y + z)$$
eşitsizliğine ulaşırız.

Eşitlik koşulunu belirleyelim. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinde, $\sin\alpha = \sin\beta = \sin\gamma$ olmalıdır ve $\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ$ bulunur. Yani $ABC$ bir eşkenar üçgendir. Ayrıca, $\left( y\cos\gamma - z \cos\beta \right)^2 = 0$ koşulundan $y=z$ elde edilir. Benzer eşitlik koşullarından $z=x$ olup $x=y=z$ bulunur. $O$ noktası $ABC$ eşkenar üçgeninin merkezi iken eşitlik sağlanır.



Dipnot: Bu, Erdös'ün sunduğu eşitsizliğe verilen ilk ispattır ve 1937'de Louis Joel Mordell tarafından AMM'de yayımlanmıştır. Gördüğünüz gibi, ispatı tamamen temel yöntemler içeriyor. Mordell'in ispatının güçlü etkileri daha sonra verilen ispatlarda da görülebilir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1385
  • Karma: +3/-0
Ynt: Erdös Mordell Eşitsizliği
« Yanıtla #2 : Ağustos 21, 2022, 03:28:51 ös »
Çözüm 2 [C. Alsina and R. B. Nelsen, 2007*]:

Orijinal ifadede $|AB|=c,\ |BC|=a,\ |CA|=b,\ |OA|=x,\ |OB|=y,\ |OC|=z,\ |OP|=p,\ |OQ|=q,\ |OR|=r$ diyelim. Bu gösterimle birlikte ispatlamak istediğimiz eşitsizlik

$$x+y+z \geq 2(p+q+r)$$

haline gelir.


Lemma: Yukarıdaki şekilde $ax \geq br+cq,\ by \geq ar+cp$ ve $cz \geq aq+bp$ dir.


Lemmanın ispatı: Aynı renkli üçgenler kendi aralarında benzer olup, sağdaki şekil bir dik yamuktur.(Açı özelliklerinden anlaşılabilir) Yamuğun içinde bulunan beyaz üçgen ise orijinal ifadedeki $ABC$ üçgeniyle benzerdir.

Buradan da görsel olarak $ax \geq br+cq$ olduğunu söyleyebiliriz. Diğer iki eşitsizlik de benzer mantıkla ispatlanabilir.

Şimdi ana eşitsizliği ispatlayabiliriz

Lemmadan dolayı :

$$x \geq \dfrac{b}{a}r+\dfrac{c}{a}q\ , \quad y \geq \dfrac{a}{b}r+\dfrac{c}{b}p\ , \quad z \geq \dfrac{a}{c}q+\dfrac{b}{c}p$$

olduğunu biliyoruz. Bu üç eşitsizliği taraf tarafa toplarsak :

$$x+y+z \geq  \left( \dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b} \right)p + \left( \dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c} \right)q + \left( \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \right)r$$

elde ederiz ayrıca Aritmetik Orta-Geometrik Orta eşitsizliğinden dolayı parantez içindeki ifadelerin en az $2$ olabileceğini de dikkate alırsak

$$\boxed{x+y+z \geq 2(p+q+r)}$$

sonucuna ulaşmış oluruz.



* C. Alsina and R. B. Nelsen, A visual proof of the Erdos-Mordell inequality, Forum Geometricorum, 7 (2007) 99–102

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Erdös Mordell Eşitsizliği
« Yanıtla #3 : Ağustos 21, 2022, 05:13:59 ös »
Alsina ve Nelsen'in sunduğu çözüm, bildiğim en kısa Erdös Mordell eşitsizliği ispatıdır. Bunlarla ilgili bir video serisi yapıyordum ama devam etmek vakit bulamadım. İkinci şekildeki dik yamuk oluşturma fikrinin nereden geldiğini açıklamayı düşünüyordum. Çok özet olarak, Hojoo Lee'nin ispatindaki bir aşamadan ilham alındığını söyleyebilirim. Elbette diğer tüm ispat yapanlar, Mordell'in çözümünden ilham aldı.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1385
  • Karma: +3/-0
Ynt: Erdös Mordell Eşitsizliği
« Yanıtla #4 : Ağustos 22, 2022, 04:09:33 öö »
Alsina ve Nelsen'in birlikte American Mathematical Monthly'de yayınlanmış eşitsizliklerle ilgili pek çok çalışmaları mevcut. Özellikle de "proof without words" paylaşımları göze çarpmaktadır.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal