$1,2,\dots,n$ sıralamasında $i.$ sayıya uygulanan hamle sayısı $a_i$ olsun. $1$ sayısının $n$ olması için $k\in \mathbb{Z}^+$ için $n-1+nk$ hamle yapılması gerekir. $2$ için $n-3+nk$ (aynı $k$ olmak zorunda değil) hamle gerekir ve bu şekilde ilerler. $1$ sayısını arttıran $1$'e ve $2$'ye yapılan hamlelerdir. Ortadaki bir $i$'nci sayı için ona etki eden hamleler $i-1$'inci, $i$'nci ve $i+1$'inci sıradaki sayılara yapılan hamlelerdir. Dolayısıyla $$a_1+a_2\equiv n-1\pmod{n}$$ $$a_1+a_2+a_3\equiv n-3\pmod{n}$$ ve bu şekilde ilerlersek $$\vdots $$ $$a_{n-2}+a_{n-1}+a_n\equiv n-(2n-3)\equiv 3\pmod{n}$$ $$a_{n-1}+a_{n}\equiv n-(2n-1)\equiv 1\pmod{n}$$ elde edilir. $n$ tane denkliğin ortasından itibaren sanki $n$'nin tekliğine ve çiftliğine göre durum değişiyor gibi gözüküyor ama dikkatli incelenirse her iki durumda da denkliklerin sağ tarafının ikişerli olarak azaldığı görülebilir, isterseniz ufak değerlerde deneyebilirsiniz.
İlk iki denklikten $a_3\equiv -2\pmod{n}$ ve son iki denklikten $a_{n-2}\equiv 2\pmod{n}$ bulunur. $i$'inci ve $i+1$'inci denklikleri birbirinden çıkartırsak $i=1,2,\dots,n-3$ için $a_{i+3}\equiv a_i-2\pmod{n}$ bulunur. Şimdi $a_1\equiv A$ ve $a_2\equiv B$ dersek, $$a_{3k+2}\equiv a_{3k-1}-2\equiv a_{3k-4}-4\equiv \cdots\equiv a_2-2k\equiv B-2k\pmod{n}$$ $$a_{3k+1}\equiv a_{3k-2}-2\equiv\cdots \equiv a_1-2k\equiv A-2k\pmod{n}$$ bulunur. Eğer $n\equiv 2\pmod{3}$ ise $n=3k+2$ olacak şekilde bir $k$ tamsayısı vardır. $$a_{n-1}+a_{n}\equiv a_{3k+1}+a_{3k+2}\equiv A+B-4k\equiv 1\pmod{n}$$ $$a_1+a_2\equiv A+B\equiv -1\pmod{n}$$ olacaktır. Bu iki denklikten $$A+B-4k\equiv -1-4k\equiv 1\pmod{n}$$ $$3\equiv -3-12k\equiv-3-4(3k+2-2)\equiv -3+8\equiv 5\pmod{n}\Longrightarrow 2\equiv 0\pmod{n}$$ olur. $n\geq 3$ olduğundan bu mümkün değildir. Dolayısıyla $n,n-1,\dots,2,1$ sıralaması elde edilemez.
Sanırsam $a_{n-2}=a_{3k}\equiv 2\pmod{n}$ ve $a_3\equiv -2\pmod{n}$ olmasından da benzer bir çelişki elde edilebiliyor.
$n\not\equiv 2\pmod{3}$ ise $n, n-1, \dots, 2,1$ sıralaması elde edilebiliyor. Peki en az kaç hamlede bu sıralamayı elde edebiliriz? Ufak değerlerde $5n-12$ gibi gözüküyor ama elimde bir ispat yok.
