Ortak İki Noktadan Geçen Üç Çember {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Lemma 1 (Lokman GÖKÇE): Sabit $D$ ve $E$ noktalarından geçen üç sabit çemberin $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezleri $DE$ doğrusunun aynı tarafında bulunuyor olsun. $E$ noktasından geçen keyfi bir doğru $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezli çemberleri sırasıyla $A$, $B$, $C$ noktalarında kessin. Bu halde
$$ \dfrac{|AB|}{|BC|}$$
oranı sabittir.

[Lokman Gökçe]

$O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezli çemberlerin yarıçapları sırasıyla sabit $r_1$, $r_2$, $r_3$ değerleri olsun. $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezleri $[DE]$ nin orta dikme doğrusu üzerinde bulunurlar. $E$ noktasından geçen doğru ile $O_1O_3$ doğrusunun kesişimi $F$ olsun. Çemberde kuvvet teoreminden

$$|FE|\cdot |FA|=|FO_1|^2 - r_1^2 =c_1$$
$$|FE|\cdot |FB|=|FO_2|^2 - r_2^2 =c_2$$
$$|FE|\cdot |FC|=|FO_3|^2 - r_3^2 =c_3$$

($c_i$ ler sabit) eşitlikleri yazılır. Buradan $ \dfrac{|FE|\cdot |FB|}{|FE|\cdot |FA|} = \dfrac{c_2}{c_1}$ olup $ \dfrac{|FB|}{|FA|}$ oranının sabit olduğu anlaşılır.

Dolayısıyla $ \dfrac{|FB|}{|FA|} - 1 = \dfrac{|AB|}{|FA|}$ oranı da sabittir. Benzer biçimde $\dfrac{|AC|}{|FA|}$ oranının da sabit olduğu gösterilebilir.

Böylelikle $\dfrac{|AC|/|FA|}{|AB|/|FA|}=\dfrac{|AC|}{|AB|}$ ve $\dfrac{|AC|}{|AB|}-1 = \dfrac{|BC|}{|AB|}$ değerleri de sabit olur.

[Lokman Gökçe]

Lemma 2 (Lokman GÖKÇE): Sabit $D$ ve $E$ noktalarından geçen üç sabit çemberin $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezleri $DE$ doğrusunun aynı tarafında bulunuyor olsun. $E$ noktasından geçen keyfi bir doğru $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezli çemberleri sırasıyla $A$, $B$, $C$ noktalarında kessin. $D$ noktasından geçen keyfi bir doğru $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezli çemberleri sırasıyla $G$, $H$, $K$ noktalarında kessin. Bu halde
$$ \dfrac{|AB|}{|BC|} =  \dfrac{|GH|}{|HK|} $$

eşitliği vardır.

İspat: Lemma 1'den dolayı $\dfrac{|AB|}{|BC|}$ ve $\dfrac{|GH|}{|HK|}$ oranları sabittir. $D$ ve $E$ noktaları $O_1O_3$ doğrusuna göre simetrik olduğundan bu iki sabit değer eşit olmalıdır. Buna göre,
$$ \dfrac{|AB|}{|BC|} =  \dfrac{|GH|}{|HK|} $$
olur.

[Lokman Gökçe]

Lemma 3 (Lokman GÖKÇE): Sabit $D$ ve $E$ noktalarından geçen üç sabit çemberin $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezleri $DE$ doğrusunun aynı tarafında bulunuyor olsun. $E$ noktasından geçen keyfi bir doğru $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezli çemberleri sırasıyla $A$, $B$, $C$ noktalarında kessin. $DC$ doğrusu da $O_1$, $O_2$ merkezli çemberleri sırasıyla $G$, $H$ noktalarında kessin. Bu durumda $AG \parallel BH$ olur.

İspat 1: Lemma 2'den dolayı $\dfrac{|AB|}{|BC|} =  \dfrac{|GH|}{|HC|}$ olur. Thales teoreminden dolayı $AG \parallel BH$ elde edilir.


İspat 2: $AEDG$ ve $BDEH$ kirişler dörtgeni olduğundan $\widehat{AGD}$ ile $\widehat{AED}$, ayrıca $\widehat{BHD}$ ile $\widehat{AED}$ bütünler açılardır. Böylece $m(\widehat{AGD})=m(\widehat{BHD})$ olup $AG \parallel BH$ elde edilir.

[Lokman Gökçe]

Bu lemmaların oluşum sürecinden de kısaca bahsedebilirim. Sitede sunduğumuz İran 2002 ve daha öncesinde (2008'de) AoPS sitesinde verdiğim çözümde, bu lemmaları keşfedip kullanmaya ihtiyacım oldu. Bunları kullanınca İran 2002 sorusunu daha kolay çözebiliyorduk.


Yukarıda verdiğim lemmalardan birini, daha sonra bir yerlerde de gördüm. Ross Hornsbergers'in Episodes In Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry (1995), Roger Johnson'un Advanced Euclidean Geometry (1929) M.N. Aref'in Problems & Solutions in Euclidean Geometry (1968) kitaplarına da hızlıca baktım ama göremedim. Lemma 3'deki gibi olabilir, $D, E$ gibi sabit iki noktadan geçen üç çember çizimini görmüştüm kitapta da. Sonra not etmedim ve nerede gördüğümü hatırlamıyorum. Bu şekilde, lemmaların keşfi ile ilgili kendime bir düzeltme notu bırakmış olayım. Eğer bu şekilde 3 çember ile ilgili bir teoreme denk gelen arkadaşımız olursa kaynağını buradan paylaşabilir. İyi çalışmalar diliyorum.