Gönderen Konu: 2019 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 3  (Okunma sayısı 2288 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $ [AC] $ kenarları üzerinden sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları $\widehat{DEC}=2\cdot \widehat{ABC}$ ve $\widehat{EDB}=2\cdot \widehat{ACB}$ olacak şekilde alınmıştır.

$$ \dfrac{Alan(BDEC)}{Alan(ABC)} \leq \dfrac{|BD|^2+ |DE|^2+|EC|^2}{|BC|^2} $$
olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Aralık 12, 2019, 03:37:08 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: 2019 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 3
« Yanıtla #1 : Eylül 16, 2019, 12:36:58 öö »
Çözüm (Lokman GÖKÇE): $\widehat{BDE}$ ve $\widehat{CED}$ açılarının açıortayları $F$ noktasında kesişsin. Diğer bir ifadeyle, $F$ noktası $ADE$ üçgeninin $A$ noktasına göre dış teğet çemberinin merkezidir. Ayrıca $BDG \sim ECH \sim EDF \sim BCA $ açı-açı-açı benzerlikleri vardır. Benzer üçgenlerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşit olduğundan
$ \dfrac{Alan(BDG)}{Alan(ABC)}= \dfrac{|BD|^2}{|BC|^2} \tag {1} $
$ \dfrac{Alan(DEF)}{Alan(ABC)}= \dfrac{|DE|^2}{|BC|^2} \tag {2} $
$ \dfrac{Alan(ECH)}{Alan(ABC)}= \dfrac{|EC|^2}{|BC|^2} \tag {3} $
eşitlikleri yazılır. Bu eşitlikler taraf tarafa toplanırsa
$ \dfrac{Alan(BDG) + Alan(DEF) + Alan(ECH)}{Alan(ABC)} =\dfrac{|BD|^2 + |DE|^2 + |EC|^2}{|BC|^2} \tag{4}$
olur. Diğer taraftan
$ Alan(BDG) + Alan(DEF) + Alan(ECH) \geq Alan(BDEC) \tag {5}$
olur. Çünkü $(5)$ ifadesinde sol taraf, sağ taraftan $Alan(GFH)$ kadar daha fazladır. Böylece $(4)$ ve $(5)$ ten,

$$ \dfrac{Alan(BDEC)}{Alan(ABC)} \leq \dfrac{|BD|^2+ |DE|^2+|EC|^2}{|BC|^2}$$

sonucuna ulaşılır. Eşitlik durumu $Alan(GFH)=0$ iken sağlanır. Yani $F\in BC $ iken eşitlik geçerlidir.
« Son Düzenleme: Aralık 12, 2019, 03:37:23 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal