Çözüm (Lokman GÖKÇE): $\widehat{BDE}$ ve $\widehat{CED}$ açılarının açıortayları $F$ noktasında kesişsin. Diğer bir ifadeyle, $F$ noktası $ADE$ üçgeninin $A$ noktasına göre dış teğet çemberinin merkezidir. Ayrıca $BDG \sim ECH \sim EDF \sim BCA $ açı-açı-açı benzerlikleri vardır. Benzer üçgenlerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşit olduğundan
$ \dfrac{Alan(BDG)}{Alan(ABC)}= \dfrac{|BD|^2}{|BC|^2} \tag {1} $
$ \dfrac{Alan(DEF)}{Alan(ABC)}= \dfrac{|DE|^2}{|BC|^2} \tag {2} $
$ \dfrac{Alan(ECH)}{Alan(ABC)}= \dfrac{|EC|^2}{|BC|^2} \tag {3} $
eşitlikleri yazılır. Bu eşitlikler taraf tarafa toplanırsa
$ \dfrac{Alan(BDG) + Alan(DEF) + Alan(ECH)}{Alan(ABC)} =\dfrac{|BD|^2 + |DE|^2 + |EC|^2}{|BC|^2} \tag{4}$
olur. Diğer taraftan
$ Alan(BDG) + Alan(DEF) + Alan(ECH) \geq Alan(BDEC) \tag {5}$
olur. Çünkü $(5)$ ifadesinde sol taraf, sağ taraftan $Alan(GFH)$ kadar daha fazladır. Böylece $(4)$ ve $(5)$ ten,
$$ \dfrac{Alan(BDEC)}{Alan(ABC)} \leq \dfrac{|BD|^2+ |DE|^2+|EC|^2}{|BC|^2}$$
sonucuna ulaşılır. Eşitlik durumu $Alan(GFH)=0$ iken sağlanır. Yani $F\in BC $ iken eşitlik geçerlidir.