Gönderen Konu: 2019 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 2  (Okunma sayısı 2595 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
$2019$ öğrencinin yer aldığı bir okulda her öğrenci en az bir öğrenci ile arkadaştır. Bu okulda ortak bir arkadaşa sahip her iki öğrencinin arkadaş sayıları farklıdır.

$\text{a)}$ Bu okulda tam olarak $3$ arkadaşı olan bir öğrenci her zaman var mıdır?

$\text{b)}$ Bu okulda tam olarak $4$ arkadaşı olan bir öğrenci her zaman var mıdır?
« Son Düzenleme: Aralık 12, 2019, 03:36:03 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: 2019 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 2
« Yanıtla #1 : Aralık 12, 2019, 03:33:14 ös »
Çözüm (Lokman Gökçe):

$a)$ kısmı için: Evet, $3$ arkadaşı olan bir kişi her zaman bulunmak zorundadır.

En çok arkadaşa sahip olan kişinin $n$ tane arkadaşı olsun. $n=1$ olursa herkesin $1$ arkadaşı var demektir. Arkadaş olanları ikişerli gruplar halinde düşünürsek $2019$ kişiden biri dışarıda kalır. Bu kişinin hiç arkadaşı yoktur, çelişki.

$n=2$ olursa bazı öğrencilerin $1$, bazı öğrencilerin $2$ arkadaşı vardır. Öğrencileri noktalarla gösterelim. Arkadaş olan öğrencileri de doğru parçasıyla birleştirerek gösterelim.


$1$ arkadaşı olanların yapısı Şekil 1'de, $2$ arkadaşı olanların yapısı Şekil 2'deki gibi olur. Graf teori diliyle, noktalar üzerindeki sayılar o noktaların derecesini (o öğrencinin arkadaş sayısını) göstermektedir. Yani $n=2$ durumunda öğrenciler Şekil 1'deki gibi $2$-li gruplar halinde veya Şekil 2'deki gibi $4$-lü gruplar halinde bulunabilirler. Bu grupların sayısı sırasıyla $x$ ve $y$ olsun. $2x+4y=2019$ denkleminin doğal sayılarda çözümü yoktur. Böylece $n=2$ durumu mümkün değildir.

$n\geq 3$ olmalıdır. Bu durumda derecesi $n$ olan bir köşenin, arkadaşlarının dereceleri $1,2,3,\dots , n$ değerlerini alabilirler. Ancak, problemin bir verileni olarak bu kişilerin arkadaş sayıları da birbirinden farklıdır. O halde, en çok arkadaşa sahip olan kişinin arkadaşları olan $n$ tane kişinin her birinin arkadaş sayısı $1,2,3,\dots , n$ değerlerinden tam olarak birine karşılık gelmektedir. $n\geq 3$ olduğundan derecesi (arkadaş sayısı) $3$ olan bir kişi her zaman vardır.


$b)$ kısmı için: Hayır, $4$ arkadaşı olan biri bulunmak olmak zorunda değildir. Örnek olarak Şekil 1'deki yapıdan $x$ tane grup, Şekil 3'deki yapıdan $z$ tane grup bulunmuş olsun. Şekil 3'teki yapıda $9$ kişi vardır. Böylece $2x+9z=2019$ denklemi elde edilir. Bu denklemin doğal sayılarda çözümü vardır. Örneğin $x=1005$, $z=1$.
« Son Düzenleme: Mayıs 13, 2020, 12:09:06 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal