Gönderen Konu: 2019 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 1  (Okunma sayısı 2433 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
$a$ ve $b$ tamsayılar olmak üzere, $s=a^2+b^2 - 6ab \geq 53$ ise, $s$ nin alabileceği en küçük değer nedir?
« Son Düzenleme: Aralık 12, 2019, 03:37:44 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: 2019 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 1
« Yanıtla #1 : Eylül 15, 2019, 08:25:58 ös »
Çözüm (Lokman GÖKÇE): $a+b=c$ dersek $s=(a+b)^2-8ab \equiv c^2 \pmod{8} $ olur. $c$ tamsayısı için, $c \equiv 0, \mp 1, \mp 2, \mp 3, 4 \pmod{8}$ olduğundan $c^2 \equiv 0, 1, 4 \pmod{8}$ olur. Böylece $s\equiv c^2 \equiv 0, 1, 4 \pmod{8} $ dir. Böylece $s\geq 53$ koşulu için uygun değerler $s \in \{ 56, 57, 60, 65, 68, \dots \}$ biçimindedir. Biz $s=56$ için uygun örnek bulursak problemi çözmüş oluruz.

$s=56$ olması için $c=8k$ veya $c=8k+4$  ($k\in \mathbb Z$) olmalıdır. $c=8k+4 = 12$ için $a+b=12$ dir. Denklemde yazarsak $12^2 - 8 ab =56 $ olup $ab=11$ dir. Buradan $a=11$, $b=1$ örnek durumu bulunur. Gerçekten $a=11$, $b=1$ için $s=11^2 +1 ^2 - 6\cdot 11\cdot 1 = 56 $ ve $s_\min = 56$ olur. $\blacksquare $
« Son Düzenleme: Aralık 12, 2019, 03:38:02 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal