Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2003 Soru 2

[ERhan ERdoğan]

$m,m+1, \cdots , m+n$ pozitif tam sayılarından yalnızca $m$ ve $m+n$ nin ondalık yazılımlarındaki basamakların toplamları $8$ ile bölünüyorsa, $n$ nin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

[ygzgndgn]

$m=(a_ka_{k-1}\dots a_1a_0)_{10}$ olsun. Ekleyebileceğimiz sayıyı maksimize etmek amacıyla $a_0=2$ seçelim. O halde $$\sum_{i=1}^k a_i\equiv -2\pmod{8}$$ olmalıdır. $m+8=(a_ka_{k-1}\dots (a_1+1)0)_{10}$ bulunur. Bu sayının rakamlar toplamı ise $7$ kalanını verir. Yine ekleyebileceğimiz sayıyı maksimize etmek amacıyla $a_1=9$ seçelim. $m+8=(a_ka_{k-1}\dots (a_2+1)00)_{10}$ olup bu sayının rakamlar toplamı $7$ kalanını verir. Benzer şekilde bunu uzatabiliriz. Baştaki koşula bağlı olarak $k=7$ seçilip $a_i=9$ alınabilir. $m=99999992$ alınırsa $m+1,m+2,\dots m+14$ sayılarının rakamlar toplamı $8$'e tam bölünmez, $m+15$ bölünür. Öyleyse $n$'nin maksimum değeri $\boxed{15}$ olmalıdır.

[Metin Can Aydemir]

Aynı soru Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 34'de de sorulmuştur.