Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2008 Soru 2

[ERhan ERdoğan]

$4^x+3^y=z^2$ denkleminin pozitif tamsayılar kümesindeki tüm çözümlerini bulunuz.

[ygzgndgn]

Çözüm. $4^x=2^{2x}$ olarak yazılabilir. O halde $3^y=z^2-(2^x)^2=(z-2^x)(z+2^x)$ olarak yazılabilir. Bu ise $a+b=y$ olmak üzere $z-2^x=3^a$ ve $z+2^x=3^b$ olduğu anlamına gelir. $b>a$ olmak üzere $3^b-3^a=2^{x+1}$ olmalıdır. Sol taraf $3^a(3^{b-a}-1)$ olarak yazılabilir. Buna göre $a>0$ ise $2^{x+1}\equiv0$ $(mod$ $3)$ olmalıdır. Çelişki. Öyleyse $a=0$ olmak zorundadır. Buradan $3^b-1=2^{x+1}$ denklemine erişilir. $a=0$ olduğundan $b=y$ olmalıdır. mod 4'te incelenirse $(-1)^y\equiv1$ $(mod$ $4)$ olduğu görülür. Buna göre $y=2k$ çift olmalıdır. İki kare farkı uygulanırsa $2^{x+1}=(3^k-1)(3^k+1)$ olduğu görülür. Bu ise $m+n=x+1$ olmak üzere $3^k-1=2^m$ ve $3^k+1=2^n$ olmasını gerektirir. Öyleyse $3^k=2^{m-1}+2^{n-1}$ olmalıdır. $m<n$ olacaktır. mod 2'den çelişki gelir. O halde $m=1, n=2, k=1$ tek çözümdür. Bu durumda elde edilen tek çözüm $(x,y,z)=(2,2,5)$ olur.