Gönderen Konu: Pappus Teoremi  (Okunma sayısı 9383 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1424
  • Karma: +12/-0
Pappus Teoremi
« : Ekim 06, 2014, 03:59:48 ös »
Varsayalım ki, $\{ A, B, C \}$ ve $\{ A' , B' , C' \}$ nokta grupları, farklı iki doğru üzerinde doğrudaş olan altı farklı nokta olsun.O zaman $D = AB' \cap A'B \ ,\ E = AC' \cap A'C$ ve $F = BC' \cap B'C$ noktaları da doğrusaldır.


Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 885
  • Karma: +14/-0
Ynt: Pappus Teoremi
« Yanıtla #1 : Aralık 03, 2014, 08:26:14 ös »
Teoremin Menelaüs Teoremi yardımıyla yapılan bir ispatını görmüştüm. Projektif Geometri yöntemleriyle de ispatı var. Şunu sormak daha ilginç olabilir: D,E ve F noktalarından geçen doğruya "Pappus Doğrusu" denir. Pappus Doğrusu AB ve A'B' doğrularının kesim noktasından ne zaman geçer?

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1424
  • Karma: +12/-0
Ynt: Pappus Teoremi
« Yanıtla #2 : Eylül 12, 2015, 02:31:50 öö »
$A'B, B'C, C'A$ doğrularının meydana getirdiği üçgen $PQR$ olsun. Bu üçgende sırasıyla $ADB' , CEA', BFC'$ kesenleri için Menelaus teoremi uygulayalım. $$\dfrac{AR}{AP}\cdot\dfrac{DP}{DQ}\cdot\dfrac{B'Q}{B'R}=1$$ $$\dfrac{CQ}{CR}\cdot\dfrac{ER}{EP}\cdot\dfrac{A'P}{A'Q}=1$$ $$\dfrac{BP}{BQ}\cdot\dfrac{FQ}{FR}\cdot\dfrac{C'R}{C'P}=1$$ Bu üç ifadeyi çarparsak, $$\left (\dfrac{AR}{AP}\cdot\dfrac{CQ}{CR}\cdot\dfrac{BP}{BQ}  \right )\left (\dfrac{B'Q}{B'R}\cdot\dfrac{A'P}{A'Q}\cdot\dfrac{C'R}{C'P}  \right )\left (\dfrac{DP}{DQ}\cdot\dfrac{ER}{EP}\cdot\dfrac{FQ}{FR}  \right )=1$$ olur. Burada ilk iki parantezdeki çarpımlar $1$'e eşittir çünkü $A, B, C$ ve $A', B', C'$ noktaları doğrusaldır. O halde üçüncü parantezdeki ifade de $1$'e eşit olup bu $D, E, F$ noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu gösterir.   


Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Pappus Teoremi
« Yanıtla #3 : Mayıs 11, 2021, 03:03:08 öö »
Pappus teoreminin bazı Öklidyen biçimlerini de bu başlıkta sorabiliriz:

Teorem 1. $\{ A, B, C \}$ ve $\{ A' , B' , C' \}$ nokta grupları, farklı iki doğru üzerinde olan altı farklı nokta olsun. $AB' \parallel A'B$ ve $ BC' \parallel B'C$ ise $AC' \parallel A'C$ olduğunu kanıtlayınız.

İspat: $\{ A, B, C \}$  ve $\{ A' , B' , C' \}$ nokta gruplarını taşıyan iki doğrunun kesişimi $D$ olsun.


$AB' \parallel A'B$ olduğundan $\dfrac{|DA|}{|DB|} = \dfrac{|DB'|}{|DA'|} $ ve

$BC' \parallel B'C$ olduğundan $\dfrac{|DB|}{|DC|} = \dfrac{|DC'|}{|DB'|} $

olur. Bu iki eşitliği taraf tarafa çarparsak  $$\dfrac{|DA|}{|DC|} = \dfrac{|DC'|}{|DA'|} $$

olup kenar-açı-kenar benzerliğinden $AC' \parallel A'C$ elde edilir.


Not: Aslında bu ispatta da bir kusur vardır. $\{ A, B, C \}$  ve $\{ A' , B' , C' \}$ nokta gruplarını taşıyan iki doğru kesişmeyebilir ve $D$ noktası oluşmaz. Bu doğrular birbirine paralel olursa, Pappus teoreminin bir başka dejenere biçimini elde etmiş oluyoruz. $ABA'B'$ bir paralelkenar olur ve bu durumda $AC' \parallel A'C$ olduğunu görmek çok kolaydır.

Bu tür dejenere durumları da kapsayacak genel çözümler vermek için projektif geometrinin kavramları kullanılır. Örneğin; paralel iki (veya daha fazla) doğru sonsuzda bir noktada kesişir, denir. Örneğin $d_1\parallel d_2$ ise kesişim noktası $X$ olsun. Başka yönde paralel olan doğrular da sonsuzda başka bir noktada kesişir. $d_3\parallel d_4$ ise bunların kesişim noktası da $Y$ olsun. Bu tür $X$, $Y$ noktaları da sonsuzda bir doğru oluşturur: örneğin $\ell_{\infty}$ ile gösterilirse $X, Y \in \ell_{\infty}$ olur ...gibi.
« Son Düzenleme: Mayıs 25, 2021, 12:15:29 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Pappus Teoremi
« Yanıtla #4 : Mayıs 11, 2021, 03:37:05 öö »
Şimdi ispatı (bence) Teorem 1'e göre daha zor olan bir diğer Öklidyen biçimli Pappus teoremininin kanıtını (Öklidyen yöntemler kullanmak şartıyla) soralım:


Teorem 2: $\{ A, B, C \}$ ve $\{ A' , B' , C' \}$ nokta grupları, farklı iki doğru üzerinde olan altı farklı nokta olsun. $ BC' \cap B'C=Z$ ve $AC' \cap A'C = Y$ ve $AB' \parallel  A'B$ ise $YZ \parallel AB'$ olduğunu kanıtlayınız.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Pappus Teoremi
« Yanıtla #5 : Mayıs 12, 2021, 10:04:17 ös »
Teorem 2'nin ispatı: Pappus teoreminin ispatında olduğu şekilde $A'B, B'C, C'A$ doğrularının meydana getirdiği üçgeni yine $PQR$ ile gösterelim.


$PQ \parallel AB'$ olduğundan $PQR \sim AB'R$ dir. Ayrıca $PQR$ üçgeninde sırasıyla $CYA', BZC'$ kesenleri için Menelaus teoremini uygulayalım:
$$\dfrac{RA}{AP}\cdot\dfrac{B'Q}{B'R}=1$$
$$\dfrac{QC}{CR}\cdot\dfrac{RY}{YP}\cdot\dfrac{PA'}{A'Q}=1$$
$$\dfrac{PB}{BQ}\cdot\dfrac{QZ}{FR}\cdot\dfrac{RC'}{C'P}=1$$

Bu üç ifadeyi çarparsak, $$\left (\dfrac{RA}{AP}\cdot\dfrac{PB}{BQ}\cdot\dfrac{QC}{CR}  \right )\left (\dfrac{RC'}{C'P}\cdot\dfrac{PA'}{A'Q}\cdot\dfrac{QB'}{B'R}  \right )\left (\dfrac{RY}{YP}\cdot\dfrac{QZ}{ZR}  \right )=1$$ olur. $A, B, C$ ve $A', B', C'$ noktaları doğrusal olduğundan $PQR$ üçgeninde Menelaus teoremi gereği ilk iki parantezdeki çarpımlar $1$'e eşittir. O halde üçüncü parantezdeki ifade de $1$'e eşittir. Buradan
$$ \dfrac{RY}{YP}=\dfrac{ZR}{ZQ} $$
olup $PQR \sim YRZ$ (kenar-açı-kenar) benzerliği elde edilir. Böylece $A'B \parallel YZ$ bulunur.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal