Gönderen Konu: Desargues Teoremi  (Okunma sayısı 7565 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1424
  • Karma: +12/-0
Desargues Teoremi
« : Ekim 06, 2014, 02:57:56 ös »
$ABC$ ve $A'B'C'$  iki üçgen olsun. $AA' , BB'$ ve $CC'$ doğruları noktadaş ise, $P=AB \cap A'B' \ ,\ Q=AC \cap A'C'$ ve $R=BC \cap B'C'$ noktaları doğrusaldır.


Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Desargues Teoremi
« Yanıtla #1 : Mart 14, 2023, 12:51:09 ös »
Aslında teorem çift yönlüdür: $AA', BB', CC'$ doğrularının noktadaş olması için gerek ve yeter şart $P, Q, R$ noktalarının doğrusal olmasıdır.


$AA', BB' CC'$ doğrularının $O$ da noktadaş olduğunu kabul edelim.

$OAB$ üçgeni için $\overline{A'B'P}$ bir kesendir. Menelaus teoreminden $$ \dfrac{OA'}{A'A}\cdot  \dfrac{AP}{PB}\cdot \dfrac{PB'}{B'P} = 1 \tag{1}$$

$OAC$ üçgeni için $\overline{A'C'Q}$ bir kesendir. Menelaus teoreminden $$ \dfrac{OA'}{A'A}\cdot  \dfrac{AQ}{QC}\cdot \dfrac{CC'}{C'O} = 1 \tag{2}$$

$OBC$ üçgeni için $\overline{B'C'R}$ bir kesendir. Menelaus teoreminden $$ \dfrac{OB'}{B'B}\cdot  \dfrac{BR}{RC}\cdot \dfrac{CC'}{C'Q} = 1 \tag{3}$$

olup $(1), (2), (3)$ eşitliklerinden

$$  \dfrac{AP}{PB}\cdot  \dfrac{BR}{RC}\cdot \dfrac{CQ}{CA} = 1 $$

olur. Menelaus teoreminin karşıtından dolayı $\overline{P Q R} $ nin $ABC$ üçgeni için bir kesen olduğunu anlarız.


$P, Q, R$ noktalarının doğrusal olduğunu kabul edelim.  $AA', BB'$ doğruları $O$ noktasında ve  $AA', CC'$ doğruları $O'$ noktasında kesişsin. Benzer işlemlerle $\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{O'A'}{O'A} $ eşitliğine ulaşılabilir. Böylece $O \equiv O$ çakışık noktalar olur.  $AA', BB' CC'$ doğrularının noktadaş olduğunu anlarız.

« Son Düzenleme: Mart 15, 2023, 12:09:22 öö Gönderen: Lokman Gökçe »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal