Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2026 Soru 06

[geo]

$n+n^2+n^3+n^4$ sayısının $7$ ile tam bölünmesini sağlayan kaç $1\le n\le 2026$ pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 288 \qquad \textbf{b)}\ 578 \qquad \textbf{c)}\ 868 \qquad \textbf{d)}\ 1008 \qquad \textbf{e)}\ 1158$

[Abdullah demircan]

Yanıt: $\boxed{B}$

$n+n^{2}+n^{3}+n^{4}=n(n+1)(n^{2}+1)$ biçiminde çarpanlara ayıralım.

$n^{2} \in \{0,1,2,4\} (\mod 7)$ olduğu için $n^{2}+1$ hiçbir zaman $7$'nin katı olamaz. $n\equiv 6\pmod{7}$ veya $n\equiv 7\pmod{7}$ olmalıdır. $2026 = 7\cdot 289 + 3$ olduğundan uygun aralıkta $2\cdot 289 = 578$ tane çözüm vardır.