Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2001 Soru 1

[geo]

Dar açılı $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $BC$ üzerindeki $P$, $A$ dan geçen yüksekliğin ayağı olsun.
$\angle BCA \geq \angle ABC + 30^\circ$ olduğunu kabul edelim.
$\angle CAB + \angle COP < 90^\circ$ olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

$BC$ nin orta noktası $M$ olsun.
$\angle OAC = 90^\circ - \angle ABC$ ve $\angle PAC = 90^\circ - \angle BCA$ olduğu için $\angle OAP = (90^\circ - \angle ABC) - (90^\circ - \angle BCA) = \angle BCA - \angle ABC \geq 30^\circ$.
$O$ dan $AP$ ye inilen dikmenin ayağı $Q$ olsun. $\angle OAQ \geq 30^\circ$ olduğu için $OQ \geq AO \cdot \sin 30^\circ = \dfrac {AO}2$.
$OQ \geq AO - OQ = OC - MP > MC - MP = PC$.
$\angle POC < OCP = 90^\circ - \angle MOC = 90^\circ - \angle CAB$.