Tübitak Genç Takım Seçme 2014 Soru 3

[MATSEVER 27]

$m^6+5n^2=m+n^3$ eşitliğini sağlayan tüm $(m,n)$ pozitif tamsayı ikililerini bulunuz.

(Şahin Emrah)

[MATSEVER 27]

$m<n$ olduğunu gösterelim. $m \ge n$ kabul edelim. $ n(n^5-1) \le m(m^5-1) =n^2(n-5) $ buradan çelişki elde edilir. $m<n$ bulduk. $n>11$ için;
$$(3n-5)^3>(3m^2)^3=27(n^3-5n^2+m)>(3n-6)^3$$
olduğundan çelişki elde edilir. $n \in \{1,2,3,\cdots,10,11 \}$ elde edilir. Buradan sonra deneyeceğiz. $m(m^5-1)=n^2(n-5)$ incelenirse $m=1,3$ için $n=5,11$ çözümleri bulunur. Sağlayan ikililer $(1,5),(3,11)$ olarak bulunur.

[Barış Koyuncu]

$m^6+5n^2=m+n^3 \Rightarrow m^6-m=n^3-5n^2$

$\circ m\ge 4$ için

$(m^2+3)^3-5(m^2+3)^2>m^6-m>(m^2+1)^3-5(m^2+1)^2$ Yani $n=(m^2+2)$ dışında çözüm yok. $n=(m^2+2)$ için $(m^2+2)^3-5(m^2+2)^2=m^6-m \Leftrightarrow m^4+m=8m^2+12 \Leftrightarrow (m^2-4)^2+m=28$ Fakat $(m^2-4)^2\ge 12^2\ge144$ Yani $28=(m^2-4)^2+m\ge 144+4=148$ Çelişki.

$\circ m=1$ ise
$n^3-5n^2=m^6-m=0$ O zaman $n^2(n-5)=0 \Rightarrow n=5$ Yani $(m, n)=(1, 5)$ bir çözümdür.

$\circ m=2$ ise
$n^3-5n^2=m^6-m=62$ O zaman $n^2(n-5)=62 \Rightarrow $ Sağlayan $n$ pozitif tamsayısı yoktur.

$\circ m=3$ ise
$n^3-5n^2=m^6-m=726$ O zaman $n^2(n-5)=726 \Rightarrow n=11$ Yani $(m, n)=(3, 11)$ bir çözümdür.

TÜM ÇÖZÜMLER: $(m, n)=(1, 5), (3, 11)$