Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 20

[geo]

$x^4-2^{-y^2}x^2 - \lfloor x^2 \rfloor  + 1 = 0 $ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}
$

[geo]

$\{a\}$ ile $a$ pozitif sayısının virgülden sonraki kısmını gösterelim. Buna göre $$\lfloor x^2 \rfloor = x^2 - \{x^2\}$$ olacaktır.
$$\begin{array}{rcl}
x^4-2^{-y^2}x^2 - (x^2 - \{x^2\})  + 1 &=& 0  \\
(x^4 - 2x^2 + 1) + x^2 - 2^{-y^2}x^2 + \{x^2\} &=& 0 \\
(x^2-1)^2 + x^2(1 - \dfrac 1{2^{y^2}}) + \{x^2\} &=& 0
\end{array}$$
Sol taraftaki terimlerin üçü de $\geq 0$ olduğu için, toplamlarının $0$ olması için her birinin $0$ olması lazım. Buna göre
$$ (x^2 -1) = 0 \land (1 - \dfrac 1{2^{y^2}}) = 0 \land \{x^2\} = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \land y = 0 \land x\in \mathbb{Z}$$
olur. Bu durumda $$ (x,y)=(\pm 1,0) $$ ile çözüm kümesinin eleman sayısı $2$ olacaktır.