2006 Tübitak Ortaokul 1. Aşama Soru 14

[matematikolimpiyati]

$p,q$ asal sayılar olmak üzere$,\ p(p^2+3q^2-1)=q(q^2+3p^2+1)$ eşitliğini sağlayan kaç $(p,q)$ ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[ygzgndgn]

Cevap: $\boxed{B}$

Sağ ve sol taraf açılırsa $$p^3+3pq^2-p=q^3+3p^2q+q\Rightarrow (p^3-3p^2q+3pq^2-q^3)=p+q\Rightarrow (p-q)^3=p+q$$ bulunur. $p+q>0$ olduğundan $p-q>0$ ve $p>q$ olmalıdır. Öte yandan $$(p-q)^3-(p-q)=2q\Rightarrow (p-q)(p^2-2pq+q^2-1)=2q$$ olmalıdır. Çarpanlar asal olduğundan en az biri $2$ olmalıdır. $p-q=2$ yazılırsa $2\cdot 3=2q$ olup $q=3$ bulunur. $p=5$ olmalıdır. Diğer çarpan $2$ ise $(p-q)^2=3$ olmalıdır. Çelişki. O halde tek çözüm $\boxed{(p,q)=(5,3)}$ olur.