Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2001 Soru 1

[matematikolimpiyati]

$$a^3+b^3+c^3=2001$$ denklemini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

(Romanya)

[Metin Can Aydemir]

$a,b,c$ pozitif olduğundan $a,b,c<\sqrt[3]{2001}$ olmalıdır. Buradan $1\leq a,b,c\leq 12$ elde edilir. Genelliği bozmadan $a\leq b\leq c$ olsun. $$2001=a^3+b^3+c^3\leq 3c^3\implies 667\leq c^3\implies 9\leq c$$ elde edilir.

$c=12$ ise $a^3+b^3=273$ elde edilir. $b=1,2,\dots,6$ için denersek çözüm gelmez.

$c=11$ ise $a^3+b^3=670$ elde edilir. $b=1,2,\dots,8$ için denersek çözüm gelmez.

$c=10$ ise $a^3+b^3=1001$ elde edilir. $b=1,2,\dots,10$ için denersek $b=10$ için $a=1$ bulunur.

$c=9$ ise $a^3+b^3=1272$ elde edilir. $b=1,2,\dots, 9$ için çözüm gelmez.

Tüm çözümler $(a,b,c)=(1,10,10)$ ve permütasyonlarıdır.