$x+y=a$ ve $b>0$ için $xy=b^2$ diyelim. Kökleri $x$ ve $y$ olan polinom $t^2-at+b^2$'dir. Dolayısıyla, verilen herhangi bir $a$ ve $b$ için köklerin pozitif olmasının gerek ve yeterli koşulu diskriminantın negatif olmaması ve $a>0$ olmasıdır ki bu da $a\geq 2b>0$ olması ile denktir.
Dolayısıyla, $a\geq 2b>0$ koşulu altında $$x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2a^3-3ab^2+30b^2=2000$$ sağlanıyorsa $a=10$ olması gerektiğini göstermeliyiz. $b$'yi sabitleyelim. $Q(a)=2a^3-3ab^2+30b^2-2000$ sürekli bir fonksiyondur ve $$Q'(a)=6a^2-3b^2\geq 21b^2>0$$ olduğundan fonksiyon artandır. Bu fonksiyonun $a\geq 2b$ için bir kökü olduğunu, artan olduğunu ve $a$ artı sonsuza giderken $Q$'nun da artı sonsuza gittiğini biliyoruz. Dolayısıyla çözüm olması için $Q(2b)\leq 0$ olmalıdır. $$Q(2b)=10b^3+30b^2-2000\leq 0\implies (b-5)(b^2+8b+40)\leq 0$$ buluruz. İkinci çarpanın diskriminantı negatif olduğundan her zaman pozitiftir. Dolayısıyla, $b\leq 5$ olmalıdır. Ana denkleme dönelim, $$2(a^3-10^3)=3b^2(a-10)$$ denkleminde $a\neq 10$ ise $$2(a^2+10a+100)=3b^2$$ elde edilir. $b\leq 5$ olduğundan $2a^2+20a+200\leq 75\implies 2a^2+20a+125\leq 0$ elde edilir ancak bu polinomun diskriminantı negatif olduğundan her zaman pozitiftir. Dolayısıyla çelişki elde ederiz.
$a=x+y=10$ olmalıdır. Bu durumda $0<b\leq 5$ olan her $b$ için uygun bir $(x,y)$ ikilisi bulabiliriz.
