$a_n$'in $1$ hariç en küçük $3$ böleni $d_1,d_2,d_3$ ise $a_{n+1}=a_n(\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+\frac{1}{d_3})$ olur ve $2,3,4,5,6$ sayıları için yalnızca $(2,3,4)$ ve $(2,3,5)$ üçlüleri için $a_{n+1}>a_n$ olur. $a_1$ tekse bölenlerinin $3$ tanesinin toplamı da tek olup $d_1>2$'den $a_{n+1}<a_n$ bir tek sayıdır, dizi azalan olur ve sonsuz olamaz. $a_n$ herhangi bir noktada tek olamaz. $a_1=2^x\cdot 3^y\cdot T,(2,T)=(3,T)=1$ olsun. $x\geq 2,y\geq 1$ için $d_{1,2,3}=2,3,4$ olur ve $a_{n+1}=13a_n/12$ gelir $x<2y$ ve çift ise her seferinde kuvvetler iki ve bir azalıp $a_{x/2+1}$ tek olur. $x<2y$ ve tek sayı ise dizi bir noktada $2\cdot 3^r\cdot T\cdot 13^{y-r}$ olur. $5|T$ değilse $(2,3,6)$'dan dizi sabitlenir ve durum sağlanır. $\boxed{\text{İlk çözümümüz}: 2^x\cdot 3^y\cdot T=a_1,(2,T)=(3,T)=(5,T)=1,x<2y,(x,2)≠1}$'dir $5|T$ ise $(2,3,5)$'den $a_{n+1}=31a_n/30$ olup dizi yine tek olur. $x=2y$ için $a_{y+1}$ tek olur. $x>2y$'ye bakalım. $x=2y+r$ ise $a_{y+1}=2^r\cdot 13^y\cdot T$ olur $r=1$ için inceleyelim. $d_1,d_2,d_3=2,p_1,p_2$ ise ($p_1,p_2$ asal sayılar) $a_{y+2}$ tek olur. $d_1,d_2,d_3=2,p,2p$ olmalı ve $\frac{1}{2}+\frac{1}{p}+\frac{1}{2p}=\frac{p+3}{2p}$ olup yeni bir $2^r\cdot T,(3,T)=1$ durumu oluşur. Bu noktada $r\geq 2 $ ise $(2,4,p)$ için çarpan $\frac{3p+4}{4p}$ olup ya bir noktada dizi tek olur ya da bir tane iki kalır. (Sayılar $(2,4,8)$ olursa ya tek olur ya da bir hamle sonra $7$ çarpanı diziye eklenir. Durum tekrar eder) Ve bu işlemlerin hiçbirinde diziye $3$ çarpanı, $(p+3,3)=(3p+4,3)=1$ olduğundan, eklenmez. Yani dizi azalan olur. Şimdi en baştaki koşulda $x=1$'e bakalım. $a_1=2\cdot 3^y\cdot T$ olur. $y=0$ ise $a_2=a_1(\frac{1}{2}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q})$ ya da $a_2=a_1(\frac{1}{2}+\frac{1}{p}+\frac{1}{2p})$ olup ilkinde teklikten çelişki olur. İkincide ya $2$'nin kuvveti $1$ olur ya da $\geq 2$ olur. Her ikisinde de sayı $3$'e bölünmez ve ancak ilk bulduğumuz çözüm kümesi bulunabilir.$y\geq 1$ için sayılar ya $(2,3,5)$ ya da $(2,3,6)$ olup ikinci durum ilk çözümümüze denktir. İlk durumda ise $a_2$ tek olur. Yani tek çözüm basta bulduğumuzdur.
