Cevap. $c\geq 4$
Örnek. $f(\text{tek})=1$, $f(\text{çift ama 4 değil})=2$, $f(4)=16$
İspat. İlk başta $a=b$ durumuna bakarsak her $a$ için $f(a)\mid a^a$ buluruz. $a$ yerine bir $p$ asal sayısı yazarsak $f(p)\mid p^p\Rightarrow p\mid f(p)$ veya $f(p)=1$ bulunur. Sonsuz miktarda $p$ tek asalı için ilk durum sağlanıyor olsun. Ana denklemde $a$ yerine $p$ yazarsak Fermat'nın Küçük Teoremi'nden
$$p\mid f(p)\mid b^p-f(b)^p\Rightarrow p\mid b-f(b), \quad \forall b\in\mathbb Z ^{+}$$
buluruz. Bu ifade sonsuz miktarda asal için geçerliyse buradan $f(n)=n\leq 4n$ çözümü gelir. Aksi durumu düşünürsek bu asallar sonlu olduğundan her yeteri kadar büyük $p>N$ için $f(p)=1$ gelir. Bu asal için ana denklemde $b=p$ yazarsak $f(a)\mid p^a-1$ buluruz. Dirichlet Teoremi'nden ötürü istediğimiz aralıkta $p\equiv -1\pmod{f(a)}$ formunda sonsuz asal bulunur. Bunu yerine yazarsak $a$ tek iken $f(a)\mid 2$ ve $f(a)\mid a^a$ buluruz. Böylelikle
$$a \text{ tek sayı}\Rightarrow f(a)=1$$
gelir. Bunu da yine yerine yazarsak tüm $b$ tek sayıları için
$$f(a)\mid b^a-1$$
elde ederiz. Şayet $f(a)$'yı bölen bir tek asal olsaydı (buna $q$ diyelim) $b=q$ almamız durumunda çelişki gelirdi. Öyleyse $f(a)$'yı bölen tek asal yoktur, böylelikle $g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ için $f(a)=2^{g(a)}$ buluruz. Aşağıdaki ifadelerde LTE kullanyoruz, $a$'nın çift olduğu durumları inceler ve $b\equiv 5\pmod{8}$ alırsak
$$f(a)=2^{g(a)}\mid b^a-1\Leftrightarrow g(a)\leq v_2(b^a-1)=v_2(b-1)+v_2(b+1)+v_2(a)-1\leq 2+v_2(a)\Leftrightarrow f(a)\leq 2^{2+v_2(a)}\leq 4a$$
buluruz. Böylelikle ifadeyi ispatlamış oluruz. Soru biter.
