1. Yol: $\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}$ olmasından yola çıkarak, $p>5$ için $$\left(\frac{p-5}{2}\right)^{-1}-10^{-1}\equiv -2^{-1}\equiv \frac{p-1}{2}\pmod{p}$$ olduğunu söyleyebiliriz. Eğer $p\geq 23$ ise hem $10$, hem de $\frac{p-5}{2}$ elemanları $A$ kümesinde olacaktır. Dolayısıyla, $A^{-1}=B$ olması için bu elemanların terslerinin de $B$ kümesinde olması gerekir. Ancak $B$ kümesinde arasındaki farkın $\frac{p-1}{2}$ olduğu iki tane eleman yoktur. Dolayısıyla $p< 23$ olmalıdır. $p=5,7,11,13,17,19$ asallarını denersek, $p=5,7,13$ asalları sağlar. ($p=11$ için $3^{-1}\equiv 4$ olması; $p=17$ için $3^{-1}\equiv 6$ olması; $p=19$ için $4^{-1}\equiv 5$ olması çelişkidir)
2. Yol: Denenirse $p=5,7,13$'ün sağladığı görülebilir. Dolayısıyla, $p\geq 17$ için çözüm olmadığını göstermek yeterlidir. Bu asallar için $2,3,\dots, 8$ kesinlikle $A$ kümesindedir. Dolayısıyla bu elemanların tersleri $B$ kümesinde olmalıdır. $4$'ün tersi $\frac{p+1}{4}$ veya $\frac{3p+1}{4}$ olacaktır ancak $\frac{p+1}{4}$ kesinlikle $A$ kümesinde olduğundan çelişki olmaması için $4$'ün tersi $\frac{3p+1}{4}$ olacaktır. Yani $p\equiv 1\pmod{4}$ olmalıdır.
Eğer $p\equiv 5\pmod{8}$ ise $8$'in $p$ modundaki tersi $\frac{3p+1}{8}$ olacaktır. $p\geq 5$ olduğundan $\frac{p-1}{2}\geq \frac{3p+1}{8}$ olacaktır. Yani hem $8$ hem de $8^{-1}\equiv \frac{3p+1}{8}$ elemanları $A$ kümesinde olacaktır. Bu bir çelişkidir.
Eğer $p\equiv 1\pmod{8}$ ise $2$ sayısı $p$ modunda karekalandır, dolayısıyla, $x^2\equiv 2\pmod{p}$ olacak şekilde bir $x$ vardır. Bu $x$ için $$(x-1)(x+1)\equiv 1\pmod{p}$$ olduğundan arasında $2$ fark bulunan ve birbirinin tersi olan iki eleman olmalıdır. Ancak birbirlerinin tersleri olan elemanların farklı kümelerde olmasını istiyoruz. İstisna olan $1$ ve $p-1$ elemanlarını da hesaba katarsak, $x=\frac{p-1}{2},\frac{p+1}{2},1,2,p-2,p-1$ olabilir. $x^2\equiv 2\pmod{p}$ denkliğini kullanarak bunların çözüm getirmediğini görebiliriz. Dolayısıyla, $p\geq 17$ için şartı sağlayan bir asal sayı yoktur.
