Denklemin tam sayı çözümleri

[alpercay]

$x^2-x(y+6)+y^2+5y+6=0$ denklemini sağlayan kaç farklı $(x, y) $ sıralı tamsayı ikilisi vardır?

[Metin Can Aydemir]

Denklem halihazırda $x$'e bağlı ikinci dereceden bir denklem olarak verilmiştir. Diskriminantı hesaplarsak, $$\Delta_x=(y+6)^2-4(y^2+5y+6)=-3y^2-8y+12$$ olacaktır. Çözüm olması için $\Delta_x\geq 0$ olmalıdır. Dolayısıyla, $$0\geq 3y^2+8y-12\implies 2>\frac{-4+2\sqrt{13}}{3}\geq y\geq \frac{-4-2\sqrt{13}}{3}>-4$$ olacaktır. $y=1,0,-1,-2,-3$ olabilir.

$y=1$ ise $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)=0$ olacaktır, $(x,y)=(3,1),(4,1)$ çözümleri bulunur.

$y=0$ ise $x^2-6x+6=0$ olacaktır ancak tamsayı çözümü yoktur.

$y=-1$ ise $x^2-5x+2=0$ olacaktır ancak tamsayı çözümü yoktur.

$y=-2$ ise $x^2-4x=x(x-4)=0$ olacaktır, $(x,y)=(0,-2),(4,-2)$ çözümleri bulunur.

$y=-3$ ise $x^2-3x=x(x-3)=0$ olacaktır, $(x,y)=(0,-3),(3,-3)$ çözümleri bulunur.

Toplamda $6$ çözüm vardır.

[alpercay]

Farklı bir çözüm olarak (lise müfredatının dışına çıkılarak) denklem $2$ ile genişletilip düzenlenirse

$$2.(x^2-xy-6x+y^2+5y+6)=0$$ ve $$(x-y)^2+(x-6)^2+(y+5)^2=49$$ şeklinde yazılabilir. Bu denklemden $y \leq 1$ olduğu açıktır.

Teorem(Fermatın iki kare teoremi): $p\lt 2$ asal sayısı iki kare toplamıdır ancak ve ancak $p\equiv 1(\mod 4)$.

 $y=1$ için denklemin sağ tarafı $p=13=4k+1$ olduğundan denklemin çözümleri vardır. Denemeyle bu çözümler $x=3$ ve $x=4$ olarak bulunur.

Teorem(İki kare toplamı teoremi): $4k+3$ formunda asal çarpan içeren bir bileşik sayının iki kare toplamı olarak yazılabilmesi için bu formdaki asal çarpanların üstlerinin çift olması gerekir.  Eğer $4k+3$ formundaki asal çarpanların üstleri tek sayı ise, verilen bileşik sayı iki kare toplamı olarak yazılamaz. Sadece $4k+1$ formunda asal çarpan içeren bileşik sayılar ise iki kare toplamı olarak yazılabilir. Şimdi bu teoremi kullanarak devam edelim:

$y=0$ için denklemin sağ tarafı $24=2^3.3$ ve $4k+3$ formunda olan $3$ çarpanının üstü çift olmadığından iki kare toplamı olarak yazılamaz. Yani denklemin çözümü yoktur.

$y=-1$ için sağ taraf $33=3.11$ olup aynı nedenden $33$ sayısı iki kare toplamı olarak yazılamaz.

$y=-2$ için sağ taraf $40=2^3.5$ olup $5$ sayısı $4k+1$ formunda olduğundan $40$ sayısı iki kare toplamı olarak yazılabilir. Denemeyle $x=0$ ve $x=4$ bulunur.

$y=-3$ için sağ taraf $45=2^3.5$ olup aynı nedenden dolayı $45$ sayısı iki kare toplamı olarak yazılabilir. Denemeyle $x=0$ ve $x=3$ bulunur.

$y=-4$ için  $(x+4)^2+(x-6)^2=48$  denklemi reel bir çember belirtmez. Buna göre tüm çözümler $(3,1),(4,1),(0,-2),(4,-2),(0,-3),(3,-3)$ olur.

İlgili konu https://geomania.org/forum/index.php?topic=6793.0 linkinde mevcut.