2021 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 01

[matematikolimpiyati]

Pozitif bir $k$ tam sayısı için $|x^2+4x-11|=k$ denkleminin, tam olarak üç ayrı $x_1$, $x_2$ ve $x_3$ çözümü varsa $k$ sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 9$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $6$

$k>0$ için  $x^2+4x-11-k=0$  veya $x^2+4x-11+k=0$ olur. Varsayalım ki bu iki denklemin ortak çözümü $m$ olsun. Bu durumda
$m^2+4m-11-k=0$ ve $m^2+4m-11+k=0$ olur. Yani $-11-k=-11+k$ Buradan $k=0$  gelir ki bu durumda bu iki denklemin ortak kökü bulunamaz. ($k>0$ almıştık)
 $3$ çözüm oluşması için bu ifadelerden birinin diskriminantı pozitif diğerinin de pozitif olması gereklidir. $1.$ denkleminin diskriminantını $0$ yapmanın $k>0$  için olmadığı rahatça görülebilir. ($-11-k=4$ ise $k=-15$ ) Dolayısıyla $2.$ denklemden gelen $-11+k=4$ yani $k=15$  sağlanmalıdır. Buradan denklemler $x^2+4x-26=0$ , $(x+2)^2=x^2+4x+4=0$ olduğundan rakamlar toplamı $1+5=6$ olur.