Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2007 Soru 4

[matematikolimpiyati]

$p$ bir asal sayı ise $7p+3^p-4$ ifadesinin hiçbir zaman bir tam kare olamayacağını ispatlayınız.

[Abdullah demircan]

$p=2$'nin istenilen şartı sağlamadığı görülür.$p>2$ olduğunu varsayalım.
$7p+3^{p}-4=x^2(mod p)$ fermat teoreminden
$-1=x^2(mod p)$ mertebeden ise,
$p=1(mod 4)$ gelir.
denklemi $mod 4$'te incelersek,
$2=x^2(mod 4)$ gelir ki bu mümkün değildir. O zaman hiçbir zaman tam kare olamaz.