Aksini varsayalım ve $a\sqrt{2}\leq m\sqrt{2}+n\sqrt{3}\leq b\sqrt{3}$ olacak şekilde $m,n$ pozitif tamsayıları olsun. $b>n$ olduğu barizdir. Ayrıca $a>m$'dir çünkü aksi taktirde $$0\leq (m-a)\sqrt{2}+n\sqrt{3}\leq b\sqrt{3}-a\sqrt{2}\implies 1<n\sqrt{3}\leq b\sqrt{3}-a\sqrt{2}$$ $$\implies \sqrt{3}+\sqrt{2}\leq b\sqrt{3}+a\sqrt{2}<(b\sqrt{3}-a\sqrt{2})(b\sqrt{3}+a\sqrt{2})=3b^2-2a^2=1$$ çelişkisi elde edilir. Şimdi $$0\leq n\sqrt{3}+(a-m)\sqrt{2}<b\sqrt{3}+a\sqrt{2}$$ $$0\leq n\sqrt{3}-(a-m)\sqrt{2}<b\sqrt{3}-a\sqrt{2}$$ eşitsizliklerine bakalım. İspatları bariz olduğundan göstermiyorum. Taraf tarafa çarparsak, $$0\leq 3n^2-2(a-m)^2<3b^2-2a^2=1\implies 3n^2=2(a-m)^2$$ elde edilir. $n\neq 0$ olduğundan $$\frac{3}{2}=\left(\frac{a-m}{n}\right)^2$$ olacaktır ancak $\frac{3}{2}$ bir rasyonel sayının karesi olmadığından çelişki elde edilir. $[a\sqrt{2},b\sqrt{3}]$ arasında verilen formatta bir sayı yoktur.
