Öncelikle "$x$ rasyonel sayı ise aynı zamanda tamsayı olmalıdır" iddiasını ispatlayalım. $(p,q)=1$ ve $q>0$ tamsayıları için $x=\frac{p}{q}$ ise $$x^2-x\in\mathbb{Z}\implies \frac{p^2}{q^2}-\frac{p}{q}\in\mathbb{Z}\implies \frac{p^2-pq}{q^2}\in\mathbb{Z}\implies q\mid p^2-pq\implies q\mid p^2$$ elde edilir. $(p,q)=1$ olduğundan $q=1$ olmalıdır. Yani $x$ tamsayıdır.
$x^2-x=A\in\mathbb{Z}$ olsun. Denkliğin kökü olması için $\Delta=1+4A\geq 0$ olmalı, yani $A\geq 0$ olmalıdır. $A=0$ ise $x$'in tamsayı olduğu barizdir. $A\geq 1$ olsun. $x^n=a_{n}x+b_n$ olsun. $a_1=1$, $b_1=A$ ve $$x^{n+1}=a_{n+1}x+b_{n+1}=(a_nx+b_n)x=a_nx^2+b_nx=a_n(x+A)+b_nx=(a_n+b_n)x+Aa_n$$ olacaktır. Yani her $n$ pozitif tamsayısı için $a_n,b_n\in\mathbb{Z}$ olacaktır. Hatta $a_n$ ve $b_n$'in pozitif olduğu da kolaylıkla görülebilir. $b_n$ pozitif olduğundan $n\geq 3$ için $a_n>1$ olacaktır. Buradan $$x^{2001}-x=(a_{2001}-1)x+b_{2001}\in\mathbb{Z}\implies x\in\mathbb{Q}$$ elde edilir. $x$ rasyonel sayı olduğundan, yukarıda gösterdiğimiz gibi $x$ tamsayı olmalıdır.
