Kirişler dörtgeninin çevrel çemberi, $(a,b)$ merkezli ve $r$ yarıçaplı olsun. Yani çemberin denklemi $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ olsun. Verilen bilgiden bu denklemin en az $4$ tane farklı tamsayı çözümü olduğunu söyleyebiliriz. Bu noktalar $A=(x_0,y_0)$, $B=(x_1,y_1)$, $C=(x_2,y_2)$ ve $D=(x_3,y_3)$ olsun. $(x_i,y_i)$ ve $(x_j,y_j)$ noktalarını ele alırsak ($0\leq i\neq j\leq 3$), $$(x_i-a)^2+(y_i-b)^2=(x_j-a)^2+(y_j-b)^2$$ $$\implies x_i^2+y_i^2-2ax_i-2by_i=x_j^2+y_j^2-2ax_j-2by_j$$ $$\implies a(x_i-x_j)+b(y_i-y_j)\in\mathbb{Q}$$ olur. $ABCD$ dörtgen olduğundan en fazla $2$ noktanın apsisi aynı olabilir. Genelliği bozmadan $x_0\neq x_1$ ve $x_0\neq x_2$ olsun. Bu durumda $a+b\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}\in\mathbb{Q}$ ve $a+b\frac{y_0-y_2}{x_0-x_2}\in\mathbb{Q}$ olur. $A,B,C$ doğrusal olmadığından $\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}\neq \frac{y_0-y_2}{x_0-x_2}$ olacaktır. Dolayısıyla $$\left(a+b\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}\right)-\left(a+b\frac{y_0-y_2}{x_0-x_2}\right)=b\left(\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}-\frac{y_0-y_2}{x_0-x_2}\right)\in\mathbb{Q}\implies b\in\mathbb{Q}\implies a\in\mathbb{Q}$$ elde edilir. Çember denkleminde $(x,y)=(x_0,y_0)$ yazarsak, $$r^2=(x_0-a)^2+(y_0-b)^2\in\mathbb{Q}$$ bulunur.
