2001 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 2

[matematikolimpiyati]

Reel katsayılı $P(x)=x^3-ax^2+bx-1$ polinomunun $3$ pozitif reel kökü(eşit veya farklı) olduğu biliniyorsa, $a+b$ toplamının alabileceği en küçük değerin $6$ olduğunu ispatlayınız.

[Metin Can Aydemir]

Verilen polinomun kökleri $x_0,x_1,x_2>0$ olsun. Vieta formüllerinden $$x_0+x_1+x_2=a$$ $$x_0x_1+x_0x_2+x_1x_2=b$$ $$x_0x_1x_2=1$$ olur. İspatlamamız gereken eşitlik $$x_0+x_1+x_2+x_0x_1+x_0x_2+x_1x_2=x_0+x_1+x_2+\frac{1}{x_0}+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\geq 6$$ olduğudur. $x_i>0$ olduğundan $x_i+\frac{1}{x_i}\geq 2$'dir (Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliği), $i=0,1,2$ için bu eşitsizlikleri toplarsak, $$a+b=x_0+\frac{1}{x_0}+x_1+\frac{1}{x_1}+x_2+\frac{1}{x_2}\geq 2+2+2=6$$ elde edilir. Eşitlik durumu $x_0=x_1=x_2=1$, yani $a=b=3$'tür.