Öncelikle $z\geq y$ olduğunu gösterelim. Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden $$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\geq abc=\frac{1}{d}$$ olacaktır. Benzer şekilde $(a,b,d)$, $(a,c,d)$ ve $(b,c,d)$ için bu eşitsizliği tekrarlarsak, $$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}+\frac{a^3+b^3+d^3}{3}+\frac{a^3+c^3+d^3}{3}+\frac{b^3+c^3+d^3}{3}=a^3+b^3+c^3+d^3\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$$ olacağından $z\geq y$'dir. Şimdi de $z\geq x$ olduğunu gösterelim. Genelleştirilmiş ortalama eşitsizliğinden $$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{4}}\geq \frac{a+b+c+d}{4}\implies z\geq \frac{x^3}{16}$$ elde edilir. Dolayısıyla $x^2\geq 16$ veya $x\geq 4$ olduğunu gösterirsek $z\geq x$ olacaktır. Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden, $$\frac{a+b+c+d}{4}\geq \sqrt[4]{abcd}=1\implies a+b+c+d=x\geq 4$$ elde edilir. Dolayısıyla $z\geq x$ olacaktır ve taraf tarafa toplarsak $2z\geq x+y$ elde edilir.
