$n^{2p}=m^2+n^2+p+1$eşitliğini sağlayan tüm $(p,m,n)$ tamsayı üçlülerini bul

[MATSEVER 27]

$p$ bir asal sayı olmak üzere;
\[n^{2p}=m^2+n^2+p+1\]
eşitliğini sağlayan tüm $(p,m,n)$ tamsayı üçlülerini bulunuz.

(Şahin Emrah, JBMO 2012 Shortlist)

[Abdullah demircan]

p'nin 2'ye eşit olmadığını varsayalım. O zaman m çift olur.
$n²=m² + n² +p + 1(mod p)$
$m²=-1(mod p)$
$m⁴=1(mod p)$
burada mertebe kavramından p=1(mod 4) çıkar.orijinal eşitliği mod 4'te incelersek eğer,
$n^{2p}=3(mod 4)$ n tek ise, $n^{2p}=2(mod 4)$ n çift ise olur ki bunlar tamkare sayılar için imkansızdır. O zaman $p=2$ $n⁴=m² + n² + 3$ olur.