Görüntü kümesinde sıfırın olduğu açıktır.$f(a)=f(b)=0,a≠b$ diyelim.
$P(a,y):f(y^{2}+2af(y))=y(a+f(y))$
$P(x,a):f(a^{2}+f^{2}(x))=x(a+f(x))$
$P(b,y):f(y^{2}+2bf(y))=y(b+f(y))$
$P(x,b):f(b^{2}+f^{2}(x))=x(b+f(x))$
$f(x^{2}+2af(x))=f(a^{2}+f^{2}(x))=x(a+f(x))$
$f(x^{2}+2bf(x))=f(b^{2}+f^{2}(x))=x(b+f(x))$ olduğu görülür. İlk eşitlikte x yerine sırasıyla a ve b yazarsak,
$f(a^{2})=f(b^{2})=a^{2}=ab$ ikinci eşitliğe yazarsak,
$f(a^{2})=f(b^{2})=b^{2}=ab$ olduğunu görürüz.O zaman,
$a^{2}=b^{2}=ab$ buradan kolayca görülür ki $a=b$ yani aslında $f(a)=f(b)=0$⇔$a=b$
$P(x,-f(x)):f(2f^{2}(x)+2xf(-f(x)))=0$
$P(-f(y),y):f(y^{2}-2f^{2}(y)+f^{2}(-f(y)))=0$ o zaman,
$2f^{2}(x)+2xf(-f(x))=x^{2}-2f^{2}(x)+f^{2}(-f(x))=a$ şimdi birebirlik var mı ona bakmak lazım $f(a)=f(b)=k,a≠b$ diyelim ve bunları sırasıyla eşitliğin sağ tarafına x yerine yazalım.
$a^{2}=2k^{2}-f(-k)+a$
$b^{2}=2k^{2}-f(-k)+a$ demek ki $f(a)=f(b)$ ise $a^{2}=b^{2}$ o zaman $f(x^{2}+2af(x))=f(a^{2}+f^{2}(x))=x(a+f(x))$ eşitliğinden,
$x^{2}+2af(x)=+-(a^{2}+f^{2}(x))$ şimdi a'yı bulmak lazım
$P(a,y):f(y^{2}+2af(y))=y(a+f(y))$ kısmında y yerine 0 yazarsak $2af(0)=a$ olduğunu görürüz. Yani ya $a=0$ ya da $f(0)=\frac{1}{2}$.$a=0$ ise $f(x)=+-x$ gelir.$f(0)=\frac{1}{2}$ kabul edelim şimdi.
$P(x,a):f(a^{2}+f^{2}(x))=x(a+f(x))$ kısmına x yerine sıfır yazarsak,
$a^{2}+\frac{1}{4}=a$ gelir. Buradan $a=\frac{1}{2}$ bulunur.
$x^{2}+2af(x)=+-(a^{2}+f^{2}(x))$ eşitliğinde $a$ yerine bunu yazarsak,
$f(x)=1-\frac{x}{2}$,$f(x)=1+\frac{x}{2}$ ama bu fonksiyon orijinal eşitliği sağlamıyor sanırım.
İlk defa bu tarz bir sınavın bir sorusunda bu kadar ilerleyebildim bu yüzden çözümümü paylaşıyorum kesin bir yerde hata yapmışımdır eleştirilere açığım
