Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1994 Soru 2

[geo]

$ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB|=|AC|$ olsun.

• $M$, $BC$'nin orta noktası; $O$ da, $AM$ doğrusu üstünde bulunan ve $OB$'nin $AB$'ye dik olmasını sağlayan nokta olsun.
  
• $Q$, $BC$ kenarı üstünde, $B$ ve $C$'den farklı herhangi bir nokta olsun.
• $E$, $Q$ ve $F$ aynı doğru üstünde bulunan farklı noktalar olmak üzere, $E$'nin $AB$ doğrusu, $F$'nin de $AC$ doğrusu üstünde bulunduğunu kabul edelim.
  

$OQ$'nun $EF$'ye dik olmasının, $|QE|=|QF|$ olması için gerek ve yeter bir koşul olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

$OQ \perp EF$ olsun.
$OQFC$ kirişler dörtgeninde $\angle QFO = \angle QCO = \angle CBO$
$EBQO$ kirişler dörtgeninde $\angle QEO = \angle QBO = \angle QFO \Longrightarrow OE = EF \Longrightarrow QE = QF$. $\blacksquare$

$QF=QE$ olsun.
$F$ den $AB$ ye çizilen paralel $BC$ yi $G$ de kessin. $EQ=QF$ olduğu için $BE=FG$ ve paralellikten $\angle ABC = \angle FGC = \angle FCG$ olduğu için $BE=FC$ dir. Aynı zamanda $OB=OC$ olduğu için $\triangle OBE \cong \triangle OCF$ olup, $OE=QF$ ve $OQ \perp EF$ dir. $\blacksquare$