Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2010 Soru 4

[geo]

$P$, $ABC$ üçgeninin içinde yer alan bir nokta olsun. $AP$, $BP$ ve $CP$ doğruları, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ yı ikinci kez sırasıyla, $K$, $L$ ve $M$ noktalarında kesiyor. $\Gamma$ ya $C$ noktasında teğet olan doğru da, $AB$ doğrusunu $S$ noktasında kesiyor. $|SC|=|SP|$ ise, $|MK|=|ML|$ olduğunu kanıtlayınız.

[ERhan ERdoğan]

$\measuredangle{XY}$ ile $XY$ yayının ölçüsünü gösteriyoruz.

$S$ noktasının $\Gamma$ çemberine göre kuvvetinden $SC^2 = SB \cdot SA$ yazılabilir. $SP=SC$ olduğundan, $SP^2 = SB \cdot SA$ olur. Buna göre $ \triangle{BSP} \sim \triangle{PSA}$ olup $\angle{SPK}=\angle{ABL}$ dir.
Ayrıca $\angle{AKL}=\angle{ABL}$ olduğundan, $\angle{SPK}=\angle{AKL}$ ve buna göre $SP \parallel KL$ dir. $SP$ doğrusunun çemberi kestiği noktalar $R \in [SP]$ olmak üzere $R$ ve $T$ olsun, . $RT \parallel KL$ olduğundan, $$\measuredangle{KR}=\measuredangle{LT} \tag{1}$$ dir. $\measuredangle{RC}+\measuredangle{MT}=2\angle{SPC}$ ve $\measuredangle{RC}+\measuredangle{MR}=2\angle{SCP}$ olduğundan, $$\measuredangle{MR} = \measuredangle{MT} \tag{2}$$ dir. $(1)$ ve $(2)$'den  $\measuredangle{MK}=\measuredangle{ML}$ olup $MK=ML$ dir.