Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2011 Soru 2

[geo]

$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ nin orta noktası $D$ ve $D$ den $AC$ doğrusuna inilen dikmenin ayağı $E$ dir. $BE$ doğrusu $ABD$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez $F$ noktasında kesiyor. $DE$ ve $AF$ doğrularının kesişim noktası $G$ ise, $|DG|=|GE|$ olduğunu kanıtlayınız.

(Şahin Emrah)

[alpercay]

Kaynak: http://geomania.org/forum/fantezi-cebir/2011-ilkogretim-olimpiyati-2-asama-sinavi/

[geo]

Buraya resim gelecek

$\left|DG\right|=\left|GE\right|$ olduğunu göstermek istiyoruz. $\left|GE\right|$ yi $AEG$ dik üçgeninden Öklid'i kullanarak kolaylıkla hesaplayabiliyoruz: $\left|GE\right|^2=\left|GF\right|\cdot \left|GA\right|$.

$\left|DG\right|$ nin karesinin de bu ifadeye eşit olduğunu göstermek istiyoruz.  $\left|DG\right|^2=\left|GF\right|\cdot \left|GA\right|$ olması için $\left|DG\right|$, çembere teğet olmalı. Çemberin merkezi $M$ olsun. Yani $\angle MDE=90^{\circ}$ olduğunu göstermeliyiz.

 Üçgen ikizkenar ve $\left|BD\right|=\left|DC\right|$ olduğundan $\angle ADB =90^{\circ}$ olur. $\angle ADB =90^{\circ}$ olduğundan $\left|AB\right|$ çemberin çapı olur. Yani $M$, $\left|AB\right|$ nin orta noktasıdır. $M$ ve $D$ orta noktalar olduğundan $MD \| AC $ dir. Bu durumda $\angle MDB=\angle ECD$ olur. $\angle MDE=180^{\circ}-(\angle MDB+\angle CDE)=180^{\circ}-(\angle ECD+\angle CDE)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$.

Kaynak:
Serdar ADA

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$DE$  doğrusu $(ABDF)$  çemberine ve $(AFE)$  çemberine teğet ise kuvvet ekseninden $DG=GE$  olduğu ortaya çıkar. Dolayısıyla bu teğetlikleri göstermek yeterlidir. $AF\perp EF$  ve $DE\perp AE$  olduğundan $DE$  teğettir $(AFE)$. Öte yandan $$\angle ACD=\angle ADE=\angle ABD$$ olduğundan $\angle DBF=\angle FDE$  olur, yani $DE$  teğettir $(ABDF)$  dir. Dolayısıyla $DG=GE$  olur.