doğrusallık

[gahiax]

herkese meraba yoğunluktan ve bi haftadır süren hastalıktan sonra bi doğrusallık soruyusuyla tekrar dönmek istedim geomaniaya   soruyu kaynağını hatırlamıyorum ingilizce kaynaklardan çevirmiştim . ama bi sorun yok geeogebrada kontrol ettim .sorunun son kısmınıda T harfini unutmuşum K,I,T nin doğrusal olduğunu göstermemiz isteniyo

[geo]

İçteğet çember AB'yi S'de kessin. CN de içaçıortay olsun.
Şekle göre sırasıyla BA üzerinde; B, H, S, N, T ve A noktaları oluştu.

TI ile CH, K noktasında kesişsin.
CHN dik üçgeninde K, I, T noktaları için Menelaus teoreminden

CK/HK . HT/NT . NI/CI = 1 olacak.
Bizden istenen CK/HT = 1 olduğunu göstermemiz.

Bu durumda HT/NT = CI/NI olması gerekir. IS//CH olduğu için CI/NI = HS/SN, dolayısıyla da
HT/NT = HS/SN olduğunu göstermemiz gerekecek.

Yani geldiğimiz nokta HT/NT = HS/SN ise K,I,T doğrusaldır.
Burada H,S,N,T noktalarının harmonik olduğunu göstermemiz gerekecek. Genelde inversion gibi araçlarla çabucak gösteriyorlar bunları; ama ben pek aşina olmadığım için amele usulü gideceğim.

BH = (a²+c²-b²)/2c
AH = (b²+c²-a²)/2c
BN = ac/(a+b)
AN = bc/(a+b)

BS = AT = (u-b)

olduğundan

HT = (b²+c²-a²)/2c - (u-b)
NT = bc/(a+b) - (u-b)
Biraz aritmetikle
HT/NT = (a+b)/c

Benzer şekilde
HS = (u-b) -  (a²+c²-b²)/2c
SN = ac/(a+b) - (u-b)
Biraz aritmetikle
HS/NS=(a+b)/c

Dolayısıyla da HT/NT = HS/NS = 1 => CK/HK = 1 => K, CH'nin orta noktasıdır.