XI. Mersin Matematik Olimpiyatları 2014

[muuurat]

.

[Eray]

Yanıt: $\boxed{A}$

Denklemlerin hepsini taraf tarafa toplayalım.

$x^2+y^2+z^2=2\sqrt{y^2+1}+2\sqrt{z^2-1}-2+2\sqrt{x^2+2}-6$

$\Longrightarrow (x^2+2) - 2\sqrt{x^2+2}+1 + (y^2+1) - 2\sqrt{y^2+1}+1  + (z^2-1) - 2\sqrt{z^2-1}+1 +3 =0$

$\Longrightarrow \left(\sqrt{x^2+2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y^2+1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z^2-1}-1\right)^2+3=0$

Tamkareler negatif olamayacağından denklem sisteminin çözümü yoktur.

[muuurat]

cevap anahtarı 4 diyor.Acaba reel sayılarda sınırlamadığı için başka bir şey mi var?

[Lokman Gökçe]

Cevap anahtarı hatalı verilmiştir. Eğer denklemi sağlayan bir $(x,y,z)$ karmaşık sayısı üçlüsü varsa $(-x,y,z)$ üçlüsü de çözüm olur. Bu şekilde $8$ tane çözüm üçlüsü elde edilir. Genel olarak çözüm sayısı $8$ in katı olmalıdır. Ancak bilinmeyenlerden biri $0$ a eşit ise bu halde $4$ tane $(x,y,z)$ üçlüsü çözüm bulunur. Şimdi denklemlerde bilinmeyenlerden birine $0$ yazalım.

$x=0$ durumunda ilk denklemden $y^2=-1$ olup $y=i,-i$ çözümleri gelir. Ancak bu değerler 2. ve 3. denklemlerle uyuşmaz. $y=0$, $z=0$ durumları da incelenirse benzer uyuşmazlıklar elde edilir. Sonuç olarak gerek reel sayılar kümesinde, gerekse karmaşık sayılar kümesinde denklem sisteminin çözüm sayısı olamayacak bir yanıt varsa o da $4$ tür.

Muhtemelen bir baskı hatasıdır. Cevap anahtarı $\boxed{A}$ olarak düzeltilmeli.

[muuurat]

Çok teşekkür ederim.

[muuurat]

.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$(a,b,c)$ üçlüsü ile $\left( \dfrac{a-b}{\sqrt2}, \dfrac{a+b}{\sqrt2}, c \right)$ üçlüsünü göz önüne alalım. bileşenlerin karelerini toplarsak her iki üçlü için de $a^2+b^2+c^2$ elde edilir. Bu bir invaryanttır! Başlangıç pozisyonunda $(a,b,c)=(1,2,4)$ için invaryantın değeri $1^2+2^2+4^2=21$ olduğundan sonlu adım sonucunda yine $21$ elde edilmelidir. Seçenekler incelenirse cevap hiçbiri olur.

[muuurat]

çok teşekkür ederim.

[Alimmm78]

Yanıt: $\boxed{E}$

$(a,b,c)$ üçlüsü ile $\left( \dfrac{a-b}{\sqrt2}, \dfrac{a+b}{\sqrt2}, c \right)$ üçlüsünü göz önüne alalım. bileşenlerin karelerini toplarsak her iki üçlü için de $a^2+b^2+c^2$ elde edilir. Bu bir invaryanttır! Başlangıç pozisyonunda $(a,b,c)=(1,2,4)$ için invaryantın değeri $1^2+2^2+4^2=21$ olduğundan sonlu adım sonucunda yine $21$ elde edilmelidir. Seçenekler incelenirse cevap hiçbiri olur.

invaryant olması için koşullar nelerdir?
invaryant hakkında bilgiye nereden ulaşabilirim? internette pek bilgi bulamadım

[muuurat]

Değişmezlik ilkesi (invaryant) .Soruların çözümünde işe yarayan değişmez bir şey bulmak.