Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 13

[matematikolimpiyati]

$[a]$ ile $a$ gerçel sayısını aşmayan en büyük tam sayıyı gösterelim. Her $x$ gerçel sayısı için$,$

$f(x)=x-\left[\dfrac{x}{2}\right]-\left[\dfrac{x}{3}\right]-\left[\dfrac{x}{6}\right]$

olarak tanımlanan fonksiyonun değer kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ [0,1)  \qquad\textbf{b)}\ [0,2)  \qquad\textbf{c)}\ [0,3)  \qquad\textbf{d)}\ [0,4)  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$x\geq [ x ]>x-1$ olduğundan $1-x>-[ x ]\geq -x$ olur ve $$x-\left(1-\dfrac{x}{2}\right)-\left(1-\dfrac{x}{3}\right)-\left(1-\dfrac{x}{6}\right)>x-\left[\dfrac{x}{2}\right]-\left[\dfrac{x}{3}\right]-\left[\dfrac{x}{6}\right]\geq x-\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{6}$$ olacağından $$3>f(x)\geq 0$$ bulunur. Test mantığıyla bu kadarı cevabı bulmak için yeterlidir ama tam çözüm olması için devam edelim.

$f$'nin değer kümesi $S$ olsun. Yukarıdan görebileceğimiz gibi $S\subseteq [0,3)$ olacaktır. $a\in [0,3)$ olsun. Eğer $a\in [0,2)$ ise $$f(a)=a-\left[\dfrac{a}{2}\right]-\left[\dfrac{a}{3}\right]-\left[\dfrac{a}{6}\right]=a$$ olur ve $a\in S$ olur. Eğer $a\in [2,3)$ ise $$f(a+3)=(a+3)-\left[\dfrac{a+3}{2}\right]-\left[\dfrac{a+3}{3}\right]-\left[\dfrac{a+3}{6}\right]=(a+3)-2-1-0=a$$ olur. Yani her $a\in [0,3)$ için $a\in S$'dir. Buradan $[0,3)\subseteq S$ ve $S=[0,3)$ bulunur.